搜索
第20课时点与圆、直线与圆的位置关系考点一考点二考点三考点四考点一点与圆的位置关系1.点和圆的位置关系点在圆外、点在圆上、点在圆内.2.点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r,点到圆心的距离为d,那么点在圆外⇔dr;点在圆上⇔d=r;点在圆内⇔dr.3.过三点的圆(1)经过三点的圆:①经过在同一直线上的三点不能作圆;②经过不在同一直线上的三点,有且只有一个圆.(2)三角形的外心:经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆;外接圆的圆心叫做三角形的外心;这个三角形叫做这个圆的内接三角形.考点一考点二考点三考点四考点二直线与圆的位置关系1.直线和圆的位置关系相离、相切、相交.2.概念(1)直线和圆有两个交点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线;(2)直线和圆有唯一公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点;(3)直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离.3.直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r,圆心到直线l的距离为d,那么直线l和☉O相交⇔dr;直线l和☉O相切⇔d=r;直线l和☉O相离⇔dr.考点一考点二考点三考点四考点三切线的判定和性质1.切线的判定方法(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.2.切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.3.切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.考点一考点二考点三考点四考点四三角形(多边形)的内切圆1.三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形;(2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.2.三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三边的距离相等,且在三角形内部.一二三一、直线与圆的位置关系【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心,以2cm的长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.相切或相交一二三解析:如图,过点C作CD⊥AB于点D.∵∠B=30°,BC=4cm,∴CD=2cm,即点C到AB的距离等于☉C的半径.故☉C与AB相切,故选B.答案:B一二三二、切线的性质与判定【例2】如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB.(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;(2)试判断线段AC,AD,BC之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆围成的圆环的面积.(结果保留π)一二三解:(1)BC所在直线与小圆相切.理由如下:如图,过圆心O作OE⊥BC,垂足为E.因为AC是小圆的切线,AB经过圆心O,所以OA⊥AC.又因为CO平分∠ACB,OE⊥BC,所以OE=OA.所以BC所在直线是小圆的切线.(2)AC+AD=BC.理由如下:如图,连接OD.因为AC切小圆O于点A,BC切小圆O于点E,所以CE=CA.因为在Rt△OAD与Rt△OEB中,一二三OA=OE,OD=OB,∠OAD=∠OEB=90°,所以Rt△OAD≌Rt△OEB(HL).所以EB=AD.∵BC=CE+EB,∴BC=AC+AD.(3)∵∠BAC=90°,AB=8cm,BC=10cm,∴AC=6cm.∵BC=AC+AD,∴AD=BC-AC=4cm.∵圆环的面积S=πOD2-πOA2=π(OD2-OA2),又OD2-OA2=AD2,∴S=42π=16π(cm2).一二三三、三角形的内切圆【例3】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径r=.解析:如图,在Rt△ABC中,AB=𝐴𝐶2+B𝐶2=62+82=10.∵S△ACB=12AC·BC=12×6×8=24,∴r=2𝑆△𝐴𝐶𝐵𝐴𝐶+𝐵𝐶+𝐴𝐵=486+8+10=2.答案:2一二三