名校学案11 导数及其运算

学案11导数及其运算名师伴你行考点1考点2考点3填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测知识网络构建考点4名师伴你行返回目录考纲解读导数及其运算(1)了解导数概念的实际背景.(2)通过函数图象直观理解导数的几何意义.(3)能根据导数的定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=x的导数.(4)能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.常见的基本初等函数的导数公式:(C)′=0(C为常数);(xn)′=nxn-1(n∈N+);(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(ex)′=ex;(ax)′=axlna(a0,且a≠1);(lnx)′=;(logax)′=logae(a0,且a≠1).常用的导数运算法则:法则1:［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).法则2:［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).法则3:(v(x)≠0).x1x1x1)x(v)x(v)x(u)x(v)x(u)x(v)x(u2名师伴你行考向预测1.导数的几何意义是高考考查的重点内容,常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中.2.导数的运算每年必考,一般不单独考查,在考查导数应用的同时考查导数的运算.返回目录名师伴你行返回目录1.函数y=f(x)在区间［x0,x0+Δx］(或［x0+Δx,x0］)的平均变化率一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记Δx=x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),则当Δx≠0时,商称作函数y=f(x)在区间［x0,x0+Δx］(或［x0+Δx,x0］)的平均变化率.xΔyΔ=xΔ)f(x-x)Δ+f(x00名师伴你行返回目录2.函数f(x)在x=x0处的导数(1)定义函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为f(x)在x=x0处的导数,并记作f′(x0),即=f′(x0).(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)过点(x0,f(x0))的切线的斜率等于.相应地,切线方程为.3.函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f′(x).于是,在区间(a,b)内,构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数.记为.x)f(x-x)f(xlim000xx)f(x-x)f(xlim000xy-f(x0)=f′(x0)(x-x0)f′(x0)f′(x)f′(x)(或y′,y′x)名师伴你行返回目录4.基本初等函数的导数公式y=f(x)y′=f′(x)y=cy′=y=xn(n∈N+)y′=y=xμ(x0,μ≠0且μ∈Q)y′=y=ax(a0,a≠1)y′=y=exy′=y=logax(a0,a≠1,x0)y′=y=lnxy′=y=sinxy′=y=cosxy′=0nxn-1μxμ-1axlnaexxlna1x1cosx-sinx名师伴你行5.导数运算法则(1)(f(x)±g(x))′=;(2)［f(x)·g(x)］′=,［Cf(x)］′=;(3)［］（g(x)≠0）6.复合函数的导数当y=f(u(x))是x的复合函数时,y′===.返回目录f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)Cf′(x)2[g(x)](x)g′f(x)-(x)g(x)f′′g(x)f(x)dxdydxdu·dudyy′u·u′x名师伴你行返回目录考点1导数的定义用定义法求下列函数的导数.(1)y=x2;(2)y=.2x4【分析】先求，再求其Δx→0时的极限.xy名师伴你行返回目录【解析】(1)∵===2x+Δx,∴y′=lim=lim(2x+Δx)=2x.(2)Δy==-,=-4·,∴lim=lim[-4·]=.xf(x)-x)f(xxyxx-x)(x22xx-xx2xx222Δx→0xyΔx→022x4-x)(x422x)(xxx)x(2x4xy22x)(xxx2xΔx→0xyΔx→022x)(xxx2x3x8名师伴你行xy返回目录利用导数定义求函数的导数应分三步：①求函数增量Δy;②求平均变化率;③求极限lim.Δx→0xy名师伴你行返回目录用定义求函数y=f(x)=在x=1处的导数.x1名师伴你行返回目录【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)21xylim)1(f)x11(x11xy)x11(x1x)x11(x1x11x1x111-x110x名师伴你行返回目录考点2求简单函数的导数求下列各函数的导数:xsinxcosxy)6(;1xlnx(5)ye;2-e3y(4);xx-1xy(3);xlny(2)1;7x-3x-x1y(1)2xxx2223名师伴你行返回目录【分析】利用常见函数的导数及求导法则.【解析】(1)14x.-9x-x31-0)7(x-)3(x-)(x)1()(7x-)(3x-)x1(y234-2331-233名师伴你行返回目录(2)当x0时，y=lnx,y′=;当x0时，y=ln(-x),y′=()·(-1)=.∴y′=.x1x1x1x1名师伴你行返回目录(3)(4)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′+0=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2..)xx-(1x-1)xx-(12x)1-x(0-xx-1)xx-(1)xx-x(1-)xx-(1xy2222222222名师伴你行(5)y′===.(6)y′=(xcosx)′-(sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx22221)(x)1lnx(x-1)(x)(lnx2221)(x2xlnx-1)(xx122221)x(xlnx2x-1x返回目录名师伴你行熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性.返回目录名师伴你行（1）y=x2sinx;（2）y=.（3）y=cos(2x2+1);（4）y=ln(x+).sinxxcosxx【解析】（1）y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.（2）y′===.2sinx)(x)sinxcosx)(x(x-sinx)(x)cosx(x2sinx)(xcosx)cosx)(1(x-sinx)sinx)(x-(12sinx)(xcosx-xcosx-1-xsinx-sinx返回目录2x1名师伴你行（3）y′=-sin(2x2+1)(2x2+1)′=-4xsin(2x2+1).（4）y′=返回目录.x1xx1xx1x1)x1·(xx1x122222)1(名师伴你行求下列函数的导数:(1)y=sin(2x+);(2)y=log2(2x2+3x+1).【分析】形如f(ax+b)型函数的导数,可用复合函数的求导法则.返回目录3考点3求复合函数的导数名师伴你行【解析】(1)解法一:设y=sinu,u=2x+,则y′x=y′u·u′x=cosu·2=2cos(2x+).解法二:y′=cos(2x+)·(2x+)′=2cos(2x+).返回目录33333名师伴你行返回目录(2)解法一:设y=log2u,u=2x2+3x+1,则y′x=y′u·u′x=·log2e·(4x+3)=(4x+3)=log2e.解法二:y′=［log2(2x2+3x+1)］′=(2x2+3x+1)′=(4x+3)=log2e.u113x2xelog2213x2x34x213x2xelog2213x2xelog2213x2x34x2名师伴你行求形如f(ax+b)型复合函数的导数,一般要利用求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决,具体地:(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别需要注意中间变量的系数.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)对较复杂的函数,要先化简再求导以简化运算过程.返回目录名师伴你行返回目录求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.43x)-(113π2x1名师伴你行(1)设u=1-3x,y=u-4.则y′x=y′u·u′x=-4u-5·(-3)=.(2)设y=u2,u=sinv,v=2x+,则y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2=4sin(2x+)·cos(2x+)=2sin(4x+).(3)y′=(x)′=x′·+x·()′=+=.返回目录53x)-(112333322x12x12x12x122x1x22x12x1名师伴你行返回目录［2009年高考江西卷］设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为()A.4B.C.2D.【分析】利用导数的几何意义解题.【解析】由条件知g′(1)=2,又∵f′(x)=［g(x)+x2］′=g′(x)+2x,∴f′(1)=g′(1)+2=2+2=4.故应选A.考点4导数的几何意义4121名师伴你行返回目录曲线在某点处切线的斜率即为该点处的导数.名师伴你行已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.返回目录名师伴你行返回目录∵直线l过原点,则k=(x0≠0).由点(x0,y0)在曲线C上,得y0=-3+2x0,∴=-3x0+2.∵y′=3x2-6x+2,∴k=3-6x0+2.又k=,∴2-6x0+2==-3x0+2,整理得2-3x0=0.∵x0≠0,∴x0=,此时y0=-,k=-,因此直线l的方程为y=-x,切点坐标为(,-).00xy30x20x00xy20x20x00xy20x00xy20x20x238341412383名师伴你行1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.返回目录名师伴你行返回目录3.复合函数的求导方法求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为基本函数的导数解决.(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,适当选定中间的变量.(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的关系.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程.名师伴你行名师伴你行