指数对数概念及运算公式

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指数函数及对数函数重难点根式的概念:①定义:若一个数的n次方等于),1(Nnna且,则这个数称a的n次方根.即,若axn,则x称a的n次方根)1Nnn且,1)当n为奇数时,na的次方根记作na;2)当n为偶数时,负数a没有n次方根,而正数a有两个n次方根且互为相反数,记作)0(aan.②性质:1)aann)(;2)当n为奇数时,aann;3)当n为偶数时,)0()0(||aaaaaan幂的有关概念:①规定:1)naaaan(N*,2))0(10aa,n个3)paapp(1Q,4)maaanmnm,0(、nN*且)1n②性质:1)raaaasrsr,0(、sQ),2)raaasrsr,0()(、sQ),3)rbababarrr,0,0()(Q)(注)上述性质对r、sR均适用.例求值(1)328(2)2125(3)521(4)438116例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)43aa(2)aaa(3)32)(ba(4)43)(ba(5)322baab(6)4233)(ba例.化简求值(1)012132322510002.0827)()()()((2)21153125.0525.2311.0)32(256)027.0((3)313373329aaaa(4)211511336622263ababab=(5)63231.512指数函数的定义:①定义:函数)1,0(aaayx且称指数函数,1)函数的定义域为R,2)函数的值域为),0(,3)当10a时函数为减函数,当1a时函数为增函数.提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?(1)22xy(2)(2)xy(3)2xy(4)xy(5)2yx(6)24yx(7)xyx(8)(1)xya(a>1,且2a)例:比较下列各题中的个值的大小(1)1.72.5与1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3与0.93.1例:已知指数函数()xfxa(a>0且a≠1)的图象过点(3,π),求(0),(1),(3)fff的值.思考:已知0.70.90.80.8,0.8,1.2,abc按大小顺序排列,,abc.例如图为指数函数xxxxdycybyay)4(,)3(,)2(,)1(,则dcba,,,与1的大小关系为Oxyadcb(A)dcba1(B)cdab1(C)dcba1(D)cdba11、函数2121xxy是()A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数2、函数121xy的值域是()A、,1B、,00,C、1,D、(,1)0,3、已知01,1ab,则函数xyab的图像必定不经过()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限例.求函数xxy221的值域和单调区间例若不等式3axx22(31)x+1对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______..f(x)=,1231,(2311xxxx,则f(x)值域为______.考查分段函数值域.【解析】x∈(-∞,1]时,x-1≤0,03x-1≤1,∴-2f(x)≤-1x∈(1,+∞)时,1-x0,031-x1,∴-2f(x)-1∴f(x)值域为(-2,-1]【答案】(-2,-1]例、已知2)(22xxxxeeeef,则函数)(xf的值域是_____________例点(2,1)与(1,2)在函数2axbfx的图象上,求fx的解析式例.设函数11()2xxfx,求使()22fx的x取值范围.例已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。(Ⅰ)求,ab的值;(Ⅱ)若对任意的tR,不等式22(2)(2)0fttftk恒成立,求k的取值范围;对数的概念:①定义:如果)1,0(aaa且的b次幂等于N,就是Nab,那么数b称以a为底N的对数,记作,logbNa其中a称对数的底,N称真数.1)以10为底的对数称常用对数,N10log记作Nlg,2)以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数,Nelog记作Nln②基本性质:1)真数N为正数(负数和零无对数),2)01loga,3)1logaa,4)对数恒等式:NaNalog例将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.(1)54=645(2)61264(3)1()5.733m(4)12log164(5)10log0.012(6)log102.303e例:求下列各式中x的值(1)642log3x(2)log86x(3)lg100x(4)2lnex分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.练习:将下列指数式与对数式互化,有x的求出x的值.(1)12155(2)42logx(3)1327x(4)1()644x(5)lg0.0001x(6)5lnex例利用对数恒等式NaNloga,求下列各式的值:(1)5log4log3log354)31()51()41((2)2log2log4log7101.0317103(3)6lg3log2log100492575(4)31log27log12log2594532③运算性质:如果,0,0,0,0NMaa则1)NMMNaaaloglog)(log;2)NMNMaaalogloglog;3)nMnMana(loglogR).④换底公式:),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma1)1loglogabba,2).loglogbmnbanam对数函数的运算规律例.用logax,logay,logaz表示下列各式:(1)logaxyz;(2)23logaxyz.解:(1)logaxyzlog()logaaxyzlogloglogaaaxyz;例.求下列各式的值:(1)752log42;(2)5lg100.解:(1)原式=7522log4log2=227log45log2725119;(2)原式=2122lg10lg10555例.计算:(1)lg1421g18lg7lg37;(2)9lg243lg;(3)(4)lg2·lg50+(lg5)2(5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2(2)23logaxyz23log()logaaxyz23logloglogaaaxyz112logloglog23aaaxyz.解:(1)18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20;(2)253lg23lg53lg3lg9lg243lg25;例.计算:(1)0.21log35;(2)4492log3log2log32.解:(1)原式=0.251log3log3555151553;(2)原式=2345412log452log213log21232.例.求值:(1);(2);(3)(3).例.求值(1)log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)对数函数性质典型例题例.比较下列各组数中两个值的大小:(1)2log3.4,2log8.5;(2)0.3log1.8,0.3log2.7;解:(1)对数函数2logyx在(0,)上是增函数,于是2log3.42log8.5;(2)对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数,于是0.3log1.80.3log2.7;2、比较大小(1)212log_________)1(log22aa(2)alog________)1(,logaea3若02log)1(log2aaaa,则a的取值范围是()(A))1,0((B))21,0((C))1,21((D)),1(4已知7.01.17.01.1,8.0log,8.0logcba,则cba,,的大小关系是()(A)cba(B)cab(C)bac(D)acb例比较下列各组数中的两个值大小:(1)log23.4,log28.5(2)log0.31.8,log0.32.7(3)loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1)例如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系?提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0<c<d<1<a<b例求下列函数的定义域.(1)y=(2)y=ln(ax-k·2x)(a>0且a≠1,k∈R).例.求函数)32(log221xxy的单调区间解:设uy21log,322xxu,由0u得0322xx,知定义域为),3()1,(又4)1(2xu,则当)1,(x时,u是减函数;当),3(x时,u是增函数,而uy21log在R上是减函数)33(212logxxy的单调增区间为)1,(,单调减区间为),3(例函数20.50.5loglog2yxx的单调减区间是________。例已知y=log4(2x+3-x2).(1)求定义域;(2)求f(x)的单调区间;(3)求y的最大值,并求取最大值时x值.考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值.【解】(1)由2x+3-x20,解得-1x3∴f(x)定义域为{x|-1x3}(2)令u=2x+3-x2,则u0,y=log4u由于u=2x+3-x2=-(x-1)2+4再考虑定义域可知,其增区间是(-1,1),减区间是[1,3又y=log4u为(0,+∞)增函数,故该函数单调递增区间为1,1],减区间为[1,3)(3)∵u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4∴y=log4u≤log44=1故当x=1时,u取最大值4时,y取最大值1.例求函数)106(log23xxy的最小值.变式.求函数)78lg()(2xxxf的定义域及值域.例已知函数y=f(2x)定义域为[1,2],则y=f(log2x)的定义域为()A.[1,2]B.[4,16]C.[0,1]D.(-∞,0]考查函数定义域的理解.【解析】由1≤x≤22≤2x≤4,∴y=f(x)定义域为[2,4]由2≤log2x≤4,得4≤x≤16【答案】B例作出下列函数的图像,并指出其单调区间.(1)y=lg(-x),(2)y=log2|x+1|(3)y=|log(x1)|(4)ylog(1x)122-,=-.例已知函数f(t)=log2t,]8,2[t.(1)求f(t)的值域G;(2)若对于G内的所有实数x,不等式-x2+2mx-m2+2m≤1恒成立,求实数m的取值范围.例已知函数f(x)=1421lg2aaaxx,其中a为常数,若当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求实数a的取值范围.分析:参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把a分离出来,重新认识a与其它变元(x)的依存关系,利用新的函数关系,常可使原问题“柳暗花明”.解:14212aaaxx0,且a2-a+1=(a-21)2+430,∴1+2x+4x·a0,a)2141(xx,当x∈(-∞,1]时,y=x41与y=x21都是减函数,∴y

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