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第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题复习引入线段公理：两点之间，线段最短.垂线段性质：垂线段最短.AB最短路径问题BAl问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：如何把这个问题转化为数学问题呢？ABllABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABl如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短.lABC（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢？（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABClABCB′如下左图，作点B关于直线l的对称点B′.当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？如上右图，两点之间，线段最短。线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.lABCB′lABCB′作法：1、作点B关于直线l的对称点B′；2、连接A、B′，与直线l相交于点C；线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．AC′+BC′=AC′+B′C′在△AB′C′中，AB′AC′+B′C′，∴AC+BCAC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′证明：如图.问题1归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题转化联想旧知解决实际问题ABl问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：如何把这个问题转化为数学问题呢？如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AM+MN+BN在什么情况下最短呢？分析：aBAbMN由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.lABCaBAbM分析：lABCaBAbMNA'如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.作法：1、沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽；2、连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN；此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.证明：aBAbMNA'N′M′问题2归纳抽象为数学问题转化联想旧知解决实际问题aBAbMNlABCaBAbMNA'小结归纳aBAbMNA'lABClABCB′轴对称变换平移变换两点之间，线段最短.如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.小河A课堂练习已知：如图，在l1、l2之间有一点A.求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小.l1l2AMNl1l2作法：1、作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点.2、连接AM和AN，则AM+MN+NA最小.因此，那天这样走路线最短.MNA1AA2课堂小结AB线段公理：两点之间，线段最短.最短路径问题垂线段性质：垂线段最短.BAlaBAbMNA'lABCB’教材复习题13第15题.课后作业1.必做作业你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识.如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P′，连接P′Q交BC于M点，则P处的球经BC反弹后，会击中Q处的球.请回答：如果使P球先碰撞台边BC反弹碰撞台边AD后，再击中Q球，该如何撞击呢?（画出图形）2.选做作业ACDBPQACDBPQP'M