《直角三角形的边角关系》专题专练及答案

育星教育网《直角三角形的边角关系》专题专练专题一：锐角三角函数考点分析：在理解三角函数定义的基础上，理解并掌握三角函数有关的概念及性质；典例剖析例1．（2009年湖北省孝感市）如图1，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sin．分析：先用勾股定理求出第三边，再利用三角函数的定义求解解：根据点P的坐标利用勾股定理可以求得OP=2243=5.所以sin=54斜边的对边.点评：过已知点向坐标轴引垂线构造直角三角形，利用这点的坐标求出对应线段的长度，便可计算要求的锐角的三角函数值.例2．在RtABC△中，90C°，abc，，分别是ABC，，的对边，若2ba，则tanA．分析：由于正切与两条直角边有关，故直接利用三角函数的定义求解解：因为tanA122aaba==点评：本题重点考查学生对正切定义的理解和运用情况，只要记住定义，就可以把边的比转化为正切了专练一：1、在△ABC中,∠C=90°,sinA=32,则cosB的值为()A.1B.32C.22D.122、若tana=3,且α为锐角,则cosα等于()A.12B.22C.32D.333、在△ABC中,若213sintan023AB,则∠C的度数为()A.30°B.60°C.90°D.120°图1育星教育网、把Rt△ABC的三边都扩大十倍，关于锐角A的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是A.甲B.乙C.丙D.都不正确5、（1）已知tan3,则锐角α的度数为_____;（2）若1cos302,则锐角α的度数为_____.6、在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝15。（1）求AB的长；（2）求sinA、cosA的值；（3）求AA22cossin的值；（4）比较sinA、cosB的大小。7、要求tan30°的值,可构造如图1所示的直角三角形进行计算.作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=3,∠ABC=30°,∴tan30°=1333ACBC.在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan15°的值,请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值.专题二：锐角的三角函数值考点分析：熟记特殊角的三角函数值，正确使用计算器解答锐角三角函数值和由锐角三角函数值求角的问题；典例剖析例1.（2009年浙江省湖州市）如图4，在RtABC△中，ACBRt，1BC，2AB，则下列结论正确的是（）A．3sin2AB．1tan2AC．3cos2BD．tan3B图1B21A30CBCA图4育星教育网【分析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知∠A=30°，∠B=60°，对照30°、60°的三角函数值选择正确答案.【解】根据以上分析应选D.【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC，然后根据锐角三角函数定义判断.例2．（2009·四川省遂宁市）如图3，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为cm.分析：本题可以根据定义转化为边的比，也可以利用特殊角的三角函数值求解解：由勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由52+122=132知△ABC是直角三角形，AC是斜边，所以BD=21AC=213cm.点评：由数量关系判断三角形的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从而达到综合运用知识的能力.专练二：1、在Rt△ABC中，∠C＝900，若43tanA，则sinA＝（）A、34B、43C、35D、532、若1)10tan(30，则锐角的度数是（）A、200B、300C、400D、500A、6B、5C、4D、23、如图2，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A、sin1B、cos1C、sinD、14、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足022baba，则tanA等于（）A、1B、251C、251D、251图2图3育星教育网、李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是A.40°B.30°C.20°D.10°6、在△ABC中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是等腰直角三角形C.△ABC是直角三角形D.△ABC是一般锐角三角形7、在Rt△ABC中，∠C＝900，若AC∶AB＝1∶3，则cotB＝。8、等腰三角形的底边长20cm，面积为33100cm2，求它的各内角.9、如图2，菱形的一个内角为500，较短的对角线长为8cm，求：（1）较长的对角线长；（精确到0.1cm）；（2）菱形的面积（精确到1cm2）（其中025tan＝0.4663）10、已知如图4，AB∥DC，∠D＝900，BC＝10，AB＝4，Ctan＝31，求梯形ABCD的面积。图3DCBA图4育星教育网专题三：解直角三角形及应用考点分析：理解掌握解直角三角形的基本知识、熟悉直角三角形中的边角关系，具有构造直角三角形解决问题的意识和能力；能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，培养数学应用意识和能典例剖析例1.（2009年山东省德州市、广东省深圳市）如图5，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．分析：BC所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点C作AD的垂线，结合坡比这个条件计算CE、AE，再计算BE，从而通过BE、CE的差求BC.解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1︰3可知：∠CAE＝30°，∴CE＝AC·sin30°＝10×12＝5，AE＝AC·cos30°＝10×32＝53．在Rt△ABE中，BE＝22ABAE＝2214(53)＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．答：旗杆的高度为6米．点评：过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算线段的长度.例2.（2009年山东省威海市）如图6，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障．已知港口A处在B处的北偏西37方向上，距B处20海里；C处在A处的北偏东65方向上．求,BC之间的距离（结果精确到0.1海里）．参考数据：sin370.60cos370.80tan370.75，，，sin650.91cos650.42tan652.14.，，分析：过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中利用正弦、余弦函数计算BD、AD，在Rt△ACD中利用正切求CD，即可计算BC的长.ABCDE图5图637°北北ACB育星教育网解：过点A作ADBC，垂足为D．在RtABD△中，20AB，37B°，sin3720sin3712ADAB·°°≈．cos3720cos3716BDAB·°°≈．在RtADC△中，65ACD°，∴125.61tan652.14ADCD≈≈°，5.611621.6121.6BCBDCD≈≈（海里）答：BC，之间的距离约为21.6海里．点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。第二步，根据所给条件运用解直角三角形的知识正确解答专练三：1、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图8所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A、a450元B、a225元C、a150元D、a300元2、如图9，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为A.1.8tan80°mB.1.8cos80°mC.80sin8.1mD.80tan8.1m3、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝A.甲的最高B.乙的最低C.丙的最低D.乙的最高4、如图10，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20cm时，按一阶算，3取1.732)5、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图11，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得图8图9图10育星教育网∠CAD＝450，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝300，求河宽CD（结果可带根号）。6、如图12：在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的府角是150，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：42615sin0，42615cos0，3215tan0，3215cot0）7、一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点(如图13)，若该船的航行速度为每小时20海里，那么船在C点时距离灯塔B多远？(3取1.73)8、如图14，河岸护堤AD、BC互相平行，要测量河两岸相对两树A、B的距离，小赵从B点沿垂直AB的BC方向前进，他手中有足够长的米尺和含有30°角的一块三角板.(1)请你帮小赵设计一下测量AB长的具体方案;(2)给出具体的数值，求出AB的长.图12图13图14图11育星教育网参考答案：专练一：1、B；2、A；3、D；4、B；5、（1）60°；（2）30°；6、分析：在Rt△ABC中，已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理，再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA、cosA的大小，从而便可以计算出AA22cossin的大小，即可比较sinA与cosB的大小。答案：（1）AB＝13；（2）sinA＝135，cosA＝1312；（3）1cossin22AA；（4）sinA＝cosB7、延长CB到D,使BD=BA,则∠D=∠DAB.又∠D+∠DAB=30°,故∠D=15°.DC=BD+BC=2+3,故tan15°=12323ACCD.专练二：1、D；2、A；3、A；4、B；5、D；6、B；7、22；8、解：设等腰三角形底边上的高为xcm，底角为α，则有21x·20=33100,∴x=3310.∵tanα=103310=33,∴∠α＝30°.顶角为180°－2×30°=120°.∴该等腰三角形三个内角为30°，30°，120