不确定信息-教学课件-2灰色GM(1,1)模型

第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–1第二单元灰色预测模型GM(1,1)§1前言80年代初，华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论，先后发表过灰色控制、灰色预测、灰色决策、灰色系统理论等多部专著，较详细在阐述了灰色系统理论的产生、理论、方法与应用。在80年代中后期到90年代初，举行了十数次国际、国内有关灰色系统理论的研讨会，在全国形成一股灰色系统理论研究与应用热潮。邓聚龙先生因灰色系统理论方面的贡献，获得国家科技进步一等奖。什么叫灰？用邓先生自己的话来讲：“完全已知的系统称作白系统；完全未知的系统称作黑系统或黑箱；部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。”在此，已知或未知到什么程度没有具体说明。所以，“灰”的内涵不是很清楚。举个例子讲，已知某量的真值x在闭区间ba,上，不可能落在ba,之外，但具体落到区间ba,的什么位置则是完全不知道的。那么，这个量称作灰量，可具体表示为ba,，称其为区间灰数。显然，区间灰数是客观实际中存在的，除了知道真值x在ba,上，而不在ba,之外，不再有任何已知信息，这就是灰量的最基本原型。由于灰色系统理论从一开始就没有建立在严格的集合论基础之上，使之缺乏必要的数学支撑，这大大限制了灰色系统理论和应用的发展。虽然灰色系统理论在控制、预测、决策等领域有着广泛的应用；但就其精华而言，还在于GM(1,1)模型。即便是现在，在特定情况下，GM(1,1)还有用，还在被应用，并且预测效果很好。其使用限制条件是：原始数据单调，预测背景呈现稳定发展趋势；其优势是：适用于原始观测数据较少的预测问题，由于数据量很小，无法应用概率统计方法寻找统计规律，而GM(1,1)模型恰恰弥补了这个空白，由于GM(1,1)算法简单易行，预测精度相对较高，所以在一些特定问题中，GM(1,1)仍然是决策者乐于选择的预测模型。上面讲到的背景稳定的发展趋势是指下述情况：如化工设备的腐蚀量，随着使用时间的推移腐蚀不断增加，呈现出稳定的发展趋势，并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量)，所以实际观测数据较少。这类问题很适合GM(1,1)模型预测。§2预备知识1.1线性回归设平面上有数据序列nnyxyxyx,,,,,,2211，大致分布在一条直线上。设回归直线为baxy，求ba,的值使误差平方和niiibaxyJ12最小。J是关于ba,的二元函数，由0120211niiiiniiiiibxaybJxbxayaJ00112niiiniiiiibaybxaxyxyixxiiyx,jjyx,~第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–2则得使J取极小的必要条件为：iiiiniiiynbxayxxbxa1222222iiiiiiiiiiiiixxnyxxxybxxnyxyxna(1)由(1)式求出ba,，则baxy为所求的回归直线，或数据序列nnyxyxyx,,,,,,2211的拟合直线。以上是最小二乘法的推导过程。下面给出一种记法，不是推导。求回归直线的本质是用实际观测数据ix、iy去表示ba,，使得误差平方和J取最小值，即从近似方程bbbxxxayyynn2121中形式上解出a与b。令nyyyY21，11121nxxxB则baxxxYn11121baB两边左乘TB得baBBYBTT注意到BTB是二阶方阵，且其行列式不为零，故BTB1可逆。在上式两边左乘1BBT得YBBBbaTT1（2）这与按最小二乘法求得的结果（1）完全相同。因此，只要数据点列njyxjj,,2,1,大致在一条直线上，即近似有nibaxyii,,2,1第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–3可令nyyyY21，11121nxxxB则有YBBBbaTT1从而按最小二乘法可求出数据列njyxjj,,2,1,的回归直线baxy。1.2多元线性回归设有数据序列nmnnnmmyxxxyxxxyxxx,,,,,,,,,,,,,,,21222212112111，且设axbxbxbymm2211试确定abbbm,,,,21的值，使误差平方和nimimiiiaxbxbxbyJ122211)(最小。方程组axbxbxbyaxbxbxbyaxbxbxbymnmnnnmmmm22112222121212121111可表示为nyyy21abbbxxxxxxxxxmmnnnmm21211221212111111令nyyyY21，111211221212111mnnnmmxxxxxxxxxX则abbbm21YXXXTT1(3)第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–4由此可解出mbbba,,,,21的值，求出多元回归直线方程。1.3一阶常系数线性微分方程对于一阶常系数线性微分方程uaxdtdx(4)其通解为：aucexat(5)令11xxt，则aueauxxta1)1(其中a，u为给定的常数。一阶常系数线性微分方程(4)的解是指数曲线，如下图所示：atex图象ateauxx0图象aueauxxat0图象§3GM(1，1)模型G表示Grey(灰)，M表示Model(模型)，前一个“1”表示一阶，后一个“1”表示一个变量，GM(1,1)则是一个变量的一阶微分方程模型。给定等时间间隔的数据列，且设数据列单调：)(,,)(2,，)(1,)(21nn,xxxkxkxkx＝)(表示t＝k时刻某量的观测值，不妨设1kkxx，1,,2,1nk。将数据列记成：)0()0(3)0(2)0(1)0(,,,,nxxxxx)0(x表示原始数据序列。比如：697.3,390.3,337.3,278.3,874.2)0(x。对原始数据作一次累加生成，令10txa0a0x(0)–u/a0txa0a0x(0)0txa0a0第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–5nkxxkiik,,2,11)0()1(得一次累加生成数序列为：)1()1(21(1)1(,,,nxxxx）在此，)1(kx={2.874,6.152,9.489,12.879,16.558}给定的原始数据序列)0(kx已经是单增序列，经一次累加生成的累加序列具有更强烈的单调性。我们知道指数序列是单调的，但是，单调序列却不一定是指数型的，不过强烈的单调序列可近似看做是指数的，即可用指数型曲线进行拟合。如果用指数曲线来拟合一次累加生成序列，那么，这条指数曲线一定是某个一阶线性常系数微分方程uaxdtdx)1()1((6)的满足某个初始条件的一条积分曲线：aucetxta1)1()(若令)0(1)1(11)1(xxxt则aueauxtxta1)0(1)1()(aueauxtxat)0(1)1(1)(（7）其中a，u是待确定的未知参数。当1kk,t时，dtdx)1(可用差商近似表示，ttxttxdtdxt)1()1(0)1(lim)1()1(1kkxx又)0(1)1()1(1kkkxxx，所以)0(1)1()1(1)1(kkkxxxdtdx于是，一阶线性常系数微分方程第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–6uaxdtdx)1()1(可近似化为：1)1()0(1ktkutaxxk注意到函数)1(x(t)在区间[k,k+1]上取值，以中值近似时有：)1(1)1()1(21kkxxtx则微分方程近似转化为：)0(1kxuxxakk)1(1)1(21，,n,,k32这是一个关于参数a与u的线性方程组。令121121121)1()1(1)1(3)1(2)1(2)1(1nnxxxxxxB，)0()0(3)0(2nxxxY则YBBBuaTT1由此求出ua,。微分方程的解为tx)1(aueauxta1)0(11)1(kxaueauxak)0(11)0(kxakaeeaux1)0(1具体到上面给定的数据有697.3,390.3,337.3,278.3,874.2)0(x558.16,879.12,489.9,152.6,874.2)1(x第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–717185.141184.111820.71513.4121121121)1()1(1)1(3)1(2)1(2)1(1nnxxxxxxB，679.3390.3337.3278.3)0()0(3)0(2nxxxY1718.141184.111820.71513.411117185.14184.1182.7513.4BBT4236.38236.38243.42303296.116553652.016553652.001341734.01BBTYBBBTT106536.303720.0所以，03720.0a，06536.3u。这样，所求的微分方程模型为：06536.303720.0)1()1(xdtdx其解为1)1(kxaueauxak)0(140215.8227615.850372.0ke1)0(kxakaeeaux1)0(1ke0372.011399.3上式为预测模型，该模型称作GM(1,1)预测模型。由预测模型可求)6()1(x，即为t＝6时的预测值，也可求)7()1(x，)8()1(x等等。§4精度检验对于任何预测模型，都要对模型的预测结果进行精度检验。GM(1,1)有三种精度检验方式。1.残查检验；2.关联度检验；(略)3.后严差检验。(见附表)关联度检验与后验差检验是GM(1,1)模型的主要检验方式。第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–8由于对关联度的定义有保留看法，不认为关联度检验多么可靠，故舍弃。后验差检验是基于概率统计原理的基本检验方法。因GM(1,1)的应用前提是小样本数据，而小样本数据通常不具有统计特征，故认为对小样本原始数剧应用GM(1,1)预测不具有统计特性，若用后验差检验，其检验结果将难令人相信。当数据较