数分选讲讲稿第19讲

1讲授内容备注第十九讲3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式例15证明：当0x时，335sin.66120xxxxxx证已知cos1x，（0x，只有2xn时，等号成立）在此式两端同时取[0,]x上的积分，得00cos,sin(0)xxtdtdtxxx再次取[0,]x上的积分，得21cos02xxx第三次取[0,]x上的积分，得3sin06xxxx所以3sin06xxxx上式再在[0,]x上的积分，得241cos0224xxxx即24cos1224xxx再在[0,]x上的积分，得35sin+0.6120xxxxx例16设()fx是[,]ab上连续的凸函数．试证：1212,[,],xxabxx，有21121221()()1().22xxxxfxfxfftdtxx证令121(),(0,1)txxx，则2111210211()(())(1)xxftdtfxxxdxx3学时几何解释：2同理，令221(),(0,1)txxx，则2112210211()(())(2)xxftdtfxxxdxx从而21112122102111()(())(())2xxftdtfxxxfxxxdxx注意到121()xxx与221()xxx关于中点122xx对称，()fx又为凸函数，所以121212211(())(())()22xxfxxxfxxxf2112211()().2xxxxftdtfxx另一方面，由（1）式及()fx的凸性12121()1210211()((1))txxxxxftdtfxxdxx1210()(1)()fxfxd1221()()11()().222fxfxfxfx例17设函数()gx在[,]ab上递增．试证：(,)xab函数()()xcfxgtdt为凸函数．证()gx在[,]ab上递增，123123,,(,),xxxabxxx21212121()()1()()xxccfxfxgtdtgtdtxxxx23122213211()()()xxxxgtdtgxgtdtxxxx32323232()()()()xxccgtdtgtdtfxfxxxxx所以，()fx为凸函数．3例18设()fx，()px在[,]ab上连续，()0,px()0bapxdx且()mfxM，()x在[,]mM上有定义，并且有二阶导数，()0.x试证：()()()().()()bbaabbaapxfxdxpxfxdxpxdxpxdx证I（利用积分和）将区间[,]abn等分，记(),(),(),(1,2,,)iiiiiixabappxffxinn()0x，()x为凸函数．由詹禁定理，取1,(1,2,,)iinjjpjnp，11nii11()nniiiiiiff112211221212()()()nnnnnnpfpfpfpfpfpfpppppp即1111()nniiiiiinniiiibabapfpfnnbabappnn令n，得()()()().()()bbaabbaapxfxdxpxfxdxpxdxpxdx证II（利用Taylor公式）记0()()()babapxfxdxxpxdx则200001()()()()()().2yxxyxyx4注意()0，000()()()().yxxyx在上式中，令()yfx，然后两边乘以()()bapxpxdx，得000()()()()()()()()()()bbbaaapxfxpxfxxpxxxpxdxpxdxpxdx在[,]ab上取积分0()()()()()()bbbbaaaapxfxpxdxxdxpxdxpxdx00()()()()bbaapxfxxxdxpxdx即000()()()()()().()()bbaabbaapxfxdxpxfxxdxxxpxdxpxdx其中0()()()()()()()bbbabaaapxfxdxpxfxxdxpxfxdxpxdx1()()()()()()()bbbbbaaaaapxdxpxfxdxpxdxpxfxdxpxdx00()()()()().()()bbaabbaapxfxdxpxfxdxxpxdxpxdx§4.5不等式一、Cauchy不等式及Schwarz不等式1．Cauchy不等式设,(1,2,,)iiabin为任意实数，则5222111.nnniiiiiiiabab（Cauchy不等式）其中等号当且仅当ia与ib成比例时成立．证1（判别式法）2222111102nnnniiiiiiiiiiaxbaxabxb上式是关于x的二次三项式，保持非负，故判别式2221110.nnniiiiiiiabab证II（配方法）222111nnniiiiiiiabab221111nnnnijiijjijijababab221111nnnnijiijjijijababab21110.2nnijjiijabab因此，Cauchy不等式成立．等号成立当且仅当ijjiabab，(1,2,,)in．证III（利用二次型）22222111102nnnniiiiiiiiiiaxbyaxabxyby即关于,xy的二次型，非负定，因此2112110nniiiiinniiiiiaababb即222111.nnniiiiiiiabab方法III可推广．62．Schwarz不等式设(),()fxgx在[,]ab上可积，则222()()()().bbbaaafxgxdxfxdxgxdx若(),()fxgx在[,]ab上连续，其中等号当且仅当存在常数,，使得()()fxgx时成立．（,不同时为零）3．Schwarz不等式的应用例1已知()0fx，在[,]ab上连续，()1.bafxdxk为任意实数．求证：22()cos()sin1.bbaafxkxdxfxkxdx证第一项应用Schwarz不等式：22()cos()()cosbbaafxkxdxfxfxkxdx2()()cosbbaafxdxfxkxdx2()cos(1)bafxkxdx同理22()sin()sin(2)bbaafxkxdxfxkxdx（1）+（2）：22()cos()sin1.bbaafxkxdxfxkxdx例2设()fx在[,]ab上有连续的导数，()0.fa试证：2()()().2bbaabafxfxdxfxdx证令()(),xagxftdtaxb则()(),.gxfxaxb由()0fa，知()()()()()()xxaafxfxfaftdtftdtgx因此，()()()()bbaafxfxdxgxgxdxCauchy不等式的积分形式称为Schwarz不等式722211()()()()()22bbaagxdgxgxgbga2211()1()22bbaafxdxfxdx2211()2Schwarzbbaadxfxdx2().2babafxdx例3设()fx在[,]()abba上有连续的n阶导数()()nfx，且()()0,(0,1,2,,1)kfakn．求证：1122222()()1()()()2mkbbkmkmaafxdxbafxdx其中0.kmn证先证明1n的情况．此时1,0mk设()x在[,]ab上有连续的导数，()0.a下证111222221()()().2bbaaxdxbaxdx令()(),[,]xaxtdtxab由Schwarz不等式：2222()()1()xxxaaaxtdtdttdt2()()xaxatdt两端同时积分bb22()()()xaaaxdxxatdtdxb221()()2xaatdtdxa222211()()()()22xbxbaaxaxatdtxaxdx221()().2babaxdx第二项积分值大于零．8两边同时开方：1112b22221()()().2baaxdxbaxdx对一般情况，令()()(),[,]kxfxxab1112b2222()(1)1()()()2bkkaafxdxbafxdx212222(2)1()()2bkabafxdx1222()1()().2mkmkbmkmabafxdx次例4设()fx，()gx在[,]ab上连续，()fx不恒为零，()gx有正的下界．记nd()(),(1,2,).bnafxgxdxn试证：1limmax().nnaxbndfxd证111limmax(),limlimnnnnnnnnaxbnddfxdd只需证明1limnnndd存在．01先证1nndd单调增1122()()()()()()nnbbnnaadfxgxdxgxfxgxfxdx111122()()()()bbnnaagxfxdxgxfxdx112211.nndd2110,nnnndddd即111,nnnnnndddddd02再证1nndd有界．9因为()fx在[,]ab上连续，所以0,M使得(),[,]fxMxab故11()()()()0()()()()bbnnnaabbnnnaafxgxdxfxgxdxdMMdfxgxdxfxgxdx03既然1nndd单调有界，存在极限．111limlimlim()()max().bnnnnnannnaxbnddfxgxdxfxd二、平均值不等式基本形式：对任意n个实数0,(1,2,,)iain，恒有1212nnnaaaaaan（即几何平均值算术平均值）其中等号成立当且仅当12.naaa例5设正值函数()fx在[0,1]上连续．试证：101ln()0()fxdxefxdx证由条件知(),ln()fxfx在[0,1]上可积，将[0,1]n等分，作积分和1011()l