数学分析讲稿与作业703-704-中科大数学系

131§7.3微积分的基本定理定理7.6若函数f在有限闭区间[,]ab上可积,则定义在[,]ab上的函数()()xaFxftdt(通常称为f的变上限的积分)必满足Lipschitz条件,因而是连续函数.证:记sup()axbMfx.,[,],xyabxy,有()()()()()xyyaxxFyftdtftdtFxftdt,故()()()yxFyFxftdtMyx.□定理7.7若函数f在有限闭区间[,]ab上可积,在0[,]xab处连续,则定义在[,]ab上的函数()()xaFxftdt在0x处可导,并且00()()Fxfx.证明:0,0,使得当0[,],tabtx时成立0()()ftfx,故当0[,],0xabxx时成立000000()()1()[()()]xxFxFxfxftfxdtxxxx00xxxx,即0000()()lim()xxFxFxfxxx.□定理7.8(微积分的基本定理)若函数f在区间I上连续,0xI固定,则定义在I上的函数0()()xxFxftdt是f的原函数.证:由定理7.7.□定理7.9(微积分基本定理的另一形式)若F是区间I上的可导函数,并且F的变上限的积分存在,0xI固定,则xI都成立00()()()xxFxFtdtFx.证:由定理7.1的推广.□132注记通常也将Newton-Leibniz公式称为微积分的基本定理.微积分的基本定理表明:一、区间上的连续函数一定有原函数,并且原函数之一就是变上限的积分；二、区间上的可导函数可以通过其导函数的变上限的积分来表示(假定导函数的变上限的积分存在).命题若f是区间I上的连续函数,,gh是区间J上的可导函数,满足(),()gJhJI,则定义在J上的函数()()()()hxgxFxftdt是可导函数,并且()(())()(())()Fxfhxhxfgxgx.证:固定0yI,记0()(),yyHyftdtyI,则00()()()()()()()()hxhxgxgxyyFxftdtftdtftdt(())(())HhxHgx,故()(())()(())()Fxfhxhxfgxgx.□例设函数f在[0,1]上连续可导(意思是1([0,1])fC),(0)0f,并且0f1.求证:211300()()fxdxfxdx.证:令2300()()()ttFtfxdxfxdx,则30()2()()()tFtfxdxftft20()2()()tftfxdxft.再令20()2()()tGtfxdxft,则()Gt2()2()()2()[1()]0ftftftftft.注意到(0)0G,便知0G.再注意到0f,便知0F,因而F在[0,1]上递增(1)(0)0FF.□练习题7.3(268P)1(2,3),3,4,5,6,7.问题7.3(269P)1,3,4,7.133§7.4分部积分法与换元积分法命题1(分部积分法)若函数,uv都在有限闭区间[,]ab上可导,并且,uvvu都在[,]ab上可积,则()()()()()()bbaabuxdvxuxvxvxduxa.证:由Newton-Leibniz公式,对()uvuvvu两边积分便得()()()()()()bbaabuxvxuxdvxvxduxa.□例1求20cosmxdx,20sinmxdx,m.解:记20cosmmIxdx,显然20sinmmxdxI.当2m时有12200coscossinmmmIxdxxdx2220(1)cos(1cos)mmxxdx2(1)(1)mmmImI.故21mmmIIm.从而211(22)(24)2(22)!!,(21)(23)3(21)!!nnnnIInnnn；20(21)(23)1(21)!!,2(22)2(2)!!2nnnnIInnnn.□定理7.10(带积分余项的Taylor定理)若函数f在区间I上1n阶可导,并且(1)nf的变上限的积分存在,0xI固定,则xI,成立等式0(1)01()(,)()()!xnnnxfxTfxxxtftdtn；.称0(1)01()()(,)()()!xnnnnxRxfxTfxxxtftdtn；为积分余项.134证:0000()()()()()()xxxxfxfxftdtfxftdxt0000()()()()()xxfxfxxxxtftdt02101(,)()()2!xxTfxxftdxt；022100011(,)()()()()2!2!xxTfxxfxxxxtftdt；03201(,)()()3!xxTfxxftdxt；0(1)01(,)()()!xnnnxTfxxxtftdtn；.□注记7.1带积分余项的Taylor定理也可看作是一种变形的带Cauchy余项的Taylor定理.(对满足介值定理的函数1(1)()()()nntxtft和不变符号的函数1()()txt应用第一积分中值定理,1,2,,1n).定理7.11(能推广到多元函数的换元积分法)若函数f在区间I上连续,1C函数在[,]上严格递增,并且([,])I,则()()()[()]()fxdxftdt.证:由[,]的分割1{[,]:1,2,,}kkttkn,012ntttt,自动地确定了[(),()]的分割1{[,]:1,2,,}kkxxkn,0()x12()nxxx,其中()(0,1,,)kkxtkn.显然当0时必有0.由Lagrange中值定理,可取1(,)kkktt使得111()()()()kkkkkkkxxtttt,1,2,,kn.由严格递增可知1()(,)kkkkxx,1,2,,kn.于是,在等式1111()()[()]()()nnkkkkkkkkkfxxftt135的两边同时令0便得到110011lim()()lim[()]()()nnkkkkkkkkkfxxftt,即()()()[()]()fxdxftdt.□定理7.11(仅对1元函数有效的换元积分法)若f是区间I上的连续函数,是[,]上的1C函数,并且([,])I,则()()()[()]()fxdxftdt.证:任取f在I上的原函数F,则有()()()[()][()]fxdxFF[()][()]()Ftfttdt.□命题2若函数f在[0,1]上连续,则(1)2200(cos)(sin)fxdxfxdx；(2)00(sin)(sin)2xfxdxfxdx.证:(1)作变换()2xtt,则有022002(cos)[cos()](1)(sin)2fxdxftdtftdt.(2)作变换()xtt,则有00(sin)()[sin()](1)xfxdxtftdt00(sin)(sin)ftdttftdt.故002(sin)(sin)xfxdxfxdx.□命题3若f是以正数T为周期的连续函数,则a,成立等式0()()aTTafxdxfxdx.证:作变换()xttT,则有13600()()()()aTTaTaaTfxdxfxdxfxdxfxdx000()()()TaafxdxfxdxftTdt0()Tfxdx.□命题4(1)若f是[,]aa上的连续奇函数,则()0aafxdx；(2)若f是[,]aa上的连续偶函数,则0()2()aaafxdxfxdx.证:作变换()xtt,则有(1)()()(1)aaaafxdxftdt()aaftdt.(2)00()()()aaaafxdxfxdxfxdx000()(1)()2()aaaftdtfxdxfxdx.□例2(一个错误的证明)设f是开区间I上的连续函数,[,]abI,求证:01lim[()()]()()bahfxhfxdxfbfah.证:(1)(错误的)01lim[()()]bahfxhfxdxh0()()limbahfxhfxdxh()()()bafxdxfbfa.(2)(正确的)任取f在I上的原函数F,作变换()xtth,则有()()()()bbhaahfxhdxftdtFbhFah,故1[()()]bafxhfxdxh1[()()()()]FbhFahFbFah()()()()FbhFbFahFahh.于是,01lim[()()]()()()()bahfxhfxdxFbFafbfah.□练习题7.4(276P)1(3,4,5,6,7,11),4,5,8,9,10,11,13,15.问题7.4(278P)1,2,4.