2014年高三数学(理)2第10章 9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布

第1页第十章第9讲第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布第2页第十章第9讲不同寻常的一本书，不可不读哟！第3页第十章第9讲1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.第4页第十章第9讲1个重要作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．第5页第十章第9讲2种必会方法1.①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；③若X服从超几何分布，则E(X)＝nMN.2.正态总体在某个区间内取值的概率的求法：一要熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ)，P(μ－3σX≤μ＋3σ)的值，二要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.第6页第十章第9讲3点必须注意1.在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．2.求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从X～B(n，p)，那么用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.[注：E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)]．3.在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ(μ≠0)，而不是x＝0.第7页第十章第9讲课前自主导学第8页第十章第9讲1.离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第9页第十章第9讲①均值称E(X)＝__________为随机变量X的均值或________，它反映了离散型随机变量取值的________．②方差称D(X)＝________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的________，其________为随机变量X的标准差．第10页第十章第9讲(2)均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝________，(2)D(aX＋b)＝________.(a，b为常数)(3)两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)＝____D(X)＝______X～B(n，p)E(X)＝____D(X)＝______第11页第十章第9讲随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？第12页第十章第9讲已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy若E(ξ)＝158，则D(ξ)＝________.第13页第十章第9讲2．正态分布(1)正态曲线的性质①曲线位于x轴________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线________对称；③曲线在________处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为________；⑤当σ一定时，曲线随着________的变化而沿x轴平移，如图甲所示；第14页第十章第9讲⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．第15页第十章第9讲(2)正态分布的三个常用数据：①P(μ－σX≤μ＋σ)＝________；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝________；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝________.第16页第十章第9讲μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？第17页第十章第9讲设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ1)＝p，则P(－1ξ0)＝________.第18页第十章第9讲1.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平ni＝1(xi－E(X))2pi平均偏离程度算术平方根DXaE(X)＋ba2D(X)pp(1－p)npnp(1－p)想一想：提示：随机变量的均值、方差是一个常数．样本的均值、方差是一个变量．随着样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．第19页第十章第9讲填一填：5564提示：由分布列性质，得x＋y＝0.5.又E(ξ)＝158，即2x＋3y＝118，可得x＝18，y＝38.D(ξ)＝(1－158)2·12＋(2－158)2·18＋(3－158)2·38＝5564.第20页第十章第9讲2．上方x＝μx＝μ1μ越小越大0.68260.95440.9974想一想：提示：μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．填一填：12－p提示：P(－1ξ0)＝12P(－1ξ1)＝12[1－2P(ξ1)]＝12－P(ξ1)＝12－p.第21页第十章第9讲核心要点研究第22页第十章第9讲例1[2012·福建高考]受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：第23页第十章第9讲品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x≤11x≤2x20x≤2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9第24页第十章第9讲将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．第25页第十章第9讲[解析](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X21.82.9P110910第26页第十章第9讲(3)由(2)，得E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．第27页第十章第9讲1．求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值定义求解．2．若随机变量服从二项分布，即X～B(n，p)可直接使用公式E(X)＝np求解，可不写出分布列．3．注意运用均值的线性运算性质即Y＝ax＋b则E(Y)＝aE(X)＋b.第28页第十章第9讲[变式探究]某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示．已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b第29页第十章第9讲(1)求上表中的a，b值；(2)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及数学期望E(η)．解：(1)由a100＝0.2，得a＝20.又因为40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10.第30页第十章第9讲(2)记分期付款的期数为ξ，依题意，得P(ξ＝1)＝40100＝0.4，P(ξ＝2)＝20100＝0.2，P(ξ＝3)＝0.2，P(ξ＝4)＝10100＝0.1，P(ξ＝5)＝10100＝0.1.则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率为P(A)＝0.83＋C13×0.2×(1－0.2)2＝0.896.第31页第十章第9讲(3)由题意，可知ξ只能取1,2,3,4,5.而ξ＝1时，η＝1；ξ＝2时，η＝1.5；ξ＝3时，η＝1.5；ξ＝4时，η＝2；ξ＝5时，η＝2.所以η的可能取值为：1,1.5,2，其中P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，第32页第十章第9讲所以η的分布列如下表所示：故η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元).η11.52P0.40.40.2第33页第十章第9讲例2[2012·上海高考]设10≤x1x2x3x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x1＋x22，x2＋x32，x3＋x42，x4＋x52，x5＋x12的概率也均为0.2.若记Dξ1，Dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则()A.Dξ1Dξ2B.Dξ1＝Dξ2C.Dξ1Dξ2D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关第34页第十章第9讲[审题视点]写出分布列，求得E(x)，再代入方差公式求D(x)．[解析]E(ξ1)＝x1×0.2＋x2×0.2＋x3×0.2＋x4×0.2＋x5×0.2＝0.2×(x1＋x2＋x3＋x4＋x5).ξ1x1x2x3x4x5P0.20.20.20.20.2第35页第十章第9讲ξ2x1＋x22x2＋x32x3＋x42x4＋x52x5＋x12P0.20.20.20.20.2E(ξ2)＝x1＋x22×0.2＋x2＋x32×0.2＋x3＋x42×0.2＋x4＋x52×0.2＋x5＋x12×0.2＝0.2×(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)．∴E(ξ1)＝E(ξ2)，记作x，∴D(ξ1)＝0.2[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x5－x)2]＝0.2[x21＋x22＋…＋x25＋5x2－2(x1＋x2＋…＋x5)x]＝0.2(x21＋x22＋…＋x25－5x2)．第36页第十章第9讲同理D(ξ2)＝0.2[(x1＋x22)2＋(x2＋x32)2＋…＋(x5＋x12)2－5x2]∵(x1＋x22)2x21＋x222，…，x5＋x122x25＋x212，∴x1＋x222＋x2＋x322＋…＋x5＋x122x21＋x22＋…＋x25.∴D(ξ1)D(ξ2)．[答案]A第37页第十章第9讲D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度．第38页第十章第9讲[变式探究][2012·课标全国高考]某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：第39页第十章第9讲以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．日需求量n14151617181920频数10201616151310第40页第十章第9讲解：(1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80.当n≤15时，y＝5n－5(16－n)＝10n－80，得：y＝10n－80n≤1580n≥16(n∈N)．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为第41页第十章第9讲X607080P0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×