数分选讲讲稿第34讲

1讲授内容备注第三十四讲§6.4隐函数存在定理对方程(,)0Fxy而言，隐函数存在定理是：(,)Fxy满足010000(,)0,(,)0yFxyFxy；02(,)Fxy及(,)yFxy在00(,)xy的某邻域内连续，则方程(,)0Fxy在00(,)xy的邻域里确定了唯一的隐函数.具体来说，即0,0，及函数()yyx，满足：i)00()yyx；ii)00,()0,(),(,)FxyxyxyxUx其中00(,)||-|Uxxxx；iii)满足条件i)、ii)的函数()yx是唯一的；iv)()yyx在0(,)Ux内连续．若附加条件：(,)xFxy在00(,)xy的邻域内连续，则()yx存在，且(,)()(,)xyFxydyyxdxFxy．例1给定方程2sin()0xyxy()A1)说明在点(0,0)的充分小的邻域内，此方程确定唯一的、连续的函数()yyx，使得(0)0y；2)讨论函数()yx在0x附近的可微性；3)讨论函数()yx在0x附近的升降性（单调性）；4)在点(0,0)的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一的单值函数()xxy，使得(0)0x？为什么？3学时注：定理的条件只是充分条件，而不是要条件．2解1)2(,)sin()Fxyxyxy01(0,0)0F，(,)1cos(),(0,0)1yyFxyxxyF；02显然(,)Fxy及(,)yFxy在(0,0)的邻域内连续，由隐函数存在定理，(,)0Fxy在点(0,0)的某邻域内存在唯一隐函数()yyx，连续，(0)0y．2)(,)2cos()xFxyxyxy也在(0,0)的邻域内连续，所以函数()yyx的导数存在，且(,)2cos()()(,)1cos()xyFxyxyxyyxFxyxxy()B3)为讨论()yx在0x附近的升降性，考虑()yx的符号，由()B得出，当(,)xy充分接近(0,0)时，()yx的符号取决于分子2cos()xyxy的符号．(0)0y，由()B知(0)0y，()()yxox（当0x时）于是cos()||()yxyyox()yx的符号与2x的符号相同．0x时，()0,()yxyx，0x时，()0,()yxyx．可见，()yx在0x处取（严格）极大．4)（用隐函数存在定理不能判定在(0,0)的邻域内是否存在唯一的单值函数()xxy，使得(0)0x，(0,0)0xF）由3)知，()yx在0x处取（严格）极大，故在(0,0)的充分小3的邻域内，当0y时，至少有二个x与y对应．而当0y时，无x与y对应，使得(,)0Fxy．所以不能确定()xxy，使得(0)0x．§6.5方向导数与梯度一、方向导数的计算1)利用定义函数()()nyfxx在点12(,,,)nPxxx处沿单位向量12(,,,)nllll方向的方向导数定义为00()()()limPttffPtlfPdfPtlltdt()A2)利用偏导数与方向导数的关系若()fx在点12(,,,)nPxxx处可微，则f在P点沿任意方向12(cos,cos,,cos)nl的方向导数存在，且1212()cos()cos()cosnxxxnPffPfPfPl()B3)利用梯度与方向导数的关系若()fx在点12(,,,)nPxxx处可微，则f在P点沿任意方向12(cos,cos,,cos)nl的方向导数存在，且12grad()(cos,cos,,cos)nPffPlgrad()cosfP其中表示grad()fP与l的夹角．例1设222222,0(,)0,=0xyxyfxyxyxy偏导数是两个特殊方向的方向导数梯度方向是函数变化最剧烈的方向，或个方向导数的最大值就是梯度的模4试证：(,)fxy在(0,0)点沿任意方向的方向导数存在，但在(0,0)处不可微．证取任意方向(cos,sin)l则()(0cos,0sin)(cos,sin)fPtlfttfttcossin,0cossin0,0tttt于是(0,0)0(cos,sin)tfdfttldt0(cossin)cossinttt可见在(0,0)处沿任意方向的方向导数存在．不可微性是课本上的例题．例2证明：2224222,0(,)0,=0xyxyfxyxyxy在(0,0)处沿任意方向(cos,sin)l的方向导数为2cos,sin0(0,0)sin0,sin0fl证()(0cos,0sin)(cos,sin)fPtlfttftt2224422242cossincossincossincossintttttt0t()dfPtldt2242242242cossin(cossin)cossin2coscossintttt23240()cossincossinsintdfPtldt(sin0)书P100EX55若sin0，(cos,0)0ft，()0dfPtldt．总之，有2cos,sin0(0,0)sin0,sin0fl．例3求222(,,)fxyzxyz在椭球面2222221xyzabc上的点000(,,)Pxyz处的外法线方向的导数．解法向量000222222,,xyznabc单位法向量000022222211,,||||xyznnabcnn其中222000444||22xyznabc．因此，0000000222grad()(2,2,2),,PxyzffPnxyznabc2220004442xyzabc2220002221xyzabc．例4设()yx是区间axb上的可微函数，在xOy直角坐标平面内，其图像为曲线．若二元函数(,)fxy在包含曲线的某区域上连续可微（即具有连续的偏导数）．且在曲线上恒为0．求证：(,)fxy在曲线上任一给定点处沿该曲线切线方向的导数等于0．证设(cos,sin)l是曲线上任意点P处的单位切向量，则外法线方向6(,)cos(,)sinxyffxyfxyl可见只要找出cos,sin，便得所证结果．由已知条件,()0fxx(,)xy两边关于x求导(,)(,)()0xyfxyfxyx(,)xy(,)tan()(,)xyfxyxfxy从而2221cos1tanyxyfff22sintancosxyyxyfffff所以(,)cos(,)sinxyffxyfxyl22220xyxyxyxyffffffff．例5设12,ll为2中的两个线性无关的单位向量．函数(,)fxy在2中可微．方向导数0,1,2ifil．试证：(,)fxy常数．证记1111222122(,),(,)laalaa，因为0,1,2ifil111212122200xyxyffafalffafal12,ll线性无关，111221220aaaa上述方程组只有零解：0xyff．对一元函数若()0,fxxI则(),fxCxI7O00ryx记2200(,),(,)PxyPxy，由微分中值定理0000000(,)(,)(),()()xfxyfxyfxxxyyyxx00000(),()()yfxxxyyyyy00(,)fxy01故(,)fxy常数．二、梯度的计算梯度的计算（以3为例），主要使用如下公式：(,,)grad(,,),,fffffffxyzfxyzijkxyzxyz其中为Hamilton算符，,,ijk分别表示,,xyz轴上的单位向量．注：梯度是向量，因此其运算，要遵从向量的运算法则．例6设(,)ufxy，cos,sinxryr，求证：001uuurrr．其中00,r分别是径向与圆周方向的单位向量．（如图）证uuuijxy．u在0r方向的投影：0ur（0r方向的分量）u在0方向的投影：0u（0方向的分量）按向量的分解原理：0000()()uurru0cos,sinr0cos,sinsin,cos22注：本结论可推广到n中．图8,uuuxy所以0cossinuuuurxyr0(sin)cosuuuxy11(sin)cosuuurrrxyr从而001uuurrr．例7设有方程2222221xyzaubucu(1)证明：2grad2graduAu(2)其中(,,)Axyz．证这是一个兼有梯度计算与隐函数求导的题目．(2)式变形为2222()xyzxyzuuuxuyuzu(3)问题转化为由方程(1)证明式(3)．方程(1)满足隐函数存在定理的条件，因此(1)式将u定义为,,xyz的函数．将(1)式对x求导222222222220xxxxauxuyuzuaubucu即22222222222xxxyzuauaubucu(4)由轮换对称22222222222yyxyzubuaubucu(5)922222222222zzxyzucuaubucu(6)(4)，(5)，(6)平方后相加，约去两端的公因子，得2222222222224xyzxyzuuuaubucu(7)(4)x+(5)y+(6)z，再由(1)得2222222222xyzxyzxuyuzuaubucu(8)联立(7)、(8)，解得2222()xyzxyzuuuxuyuzu．