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实例分析古诺双寡头竞争各模型金娥武汉理工大学管理学院，武汉(430070)E-mail：jinesx@yahoo.com.cn摘要：本文给出了应用古诺双寡头竞争的原型，无限次重复的古诺模型，不完全信息的古诺模型，以及斯塔克博格的寡头竞争模型的原理，并用一个实例分析讨论了它在各种模型下的产量及利润值，并对这些利润值进行了比较。关键词：古诺模型，无限次重复，不完全信息，斯塔克博格中图分类号：A1.引言古诺模型是早期的寡头垄断模型，它是法国经济学家古诺于1838年提出的。古诺模型通常被作为寡头理论分析的出发点，它是一个只有两个寡头厂商的简单模型，该模型也被称为“双头模型”。古诺模型的结论可以很容易地推广到在三个或三个以上的寡头垄断厂商的情况中去。古诺模型有离散产量，连续产量，一次性博弈，重复博弈，完全信息博弈，不完全信息博弈，以及不同厂商数量等多种不同的情况。甚至动态博弈中的斯塔克博格模型也可以看作是古诺模型的扩展。不管是连续产量还是离散产量，两人博弈还是多人博弈，古诺模型通常也是囚徒的困境型的博弈。由于实际生活中寡头市场非常普遍，而产量决策又是厂商决策昀主要的内容，因此，古诺模型在现实生活中的例子比比皆是，国际经济中石油输出国组织的限额和突破问题就是古诺模型昀经典的例子之一。2.用古诺各模型解决同一产出问题的原理及算法2.1古诺模型的原型2.1.1应用古诺模型原型的原理古诺寡头垄断模型是产业组织理论中十分基本的模型，它是研究企业竞争策略等经济管理问题的基础。设有两个企业生产完全可以替代的同质产品，它们在市场上进行产量竞争，即相互提出自己的产量，以使利润达到昀大。分别以12,qq表示它们的产量，并记12Qqq=+为市场产品供给总量，产品价格由市场逆需求函数()12()PQaqq=−+决定，企业i的成本为(),(1,2)iiiiCqcqi==，利润函数为()(,)(),,1,2.iijiiiqqPQqCqijπ=−=为求得纳什均衡，（1）首先求企业i的反应函数()ijRq，固定企业j的产量jq，求iq使(,)iijqqπ昀大化，即max(,)[()]iijijiiiqqaqqqcqπ=−+−求偏导得：20ijiiiaqcqqπ∂=−−−=∂反应函数为：()()2ijijiRqqaqc==−−（2）类似可得企业j关于企业i的产量的反应函数()()2jijijRqqaqc==−−（3）两条反应曲线的交点即为纳什均衡，解得121212(2)3(2)3qaccqacc∗∗⎧=+−⎨=+−⎩假设两个企业具有相同的边际成本12ccc==，这时古诺模型的均衡产量为12()3cqqqac===−均衡价格为12(2)3cpppac===+均衡利润为212()9cacπππ===−如果两个企业被合成一个企业，或两个企业可以达成默契合谋，这时企业的昀大化问题为：max()()QaQcQπ=−−对Q求偏导可解得垄断产量()2mQac=−垄断价格()2mpac=+垄断利润2()4macπ=−两个企业的合谋产量2()4mmqQac==−合谋利润为22()8macπ=−因而合谋可使企业产量下降，价格上升（假设ac），利润上升[1-3]。2.1.2利用古诺模型的原型解决实际问题例：寡头的古诺产量博弈中，如果市场需求130PQ=−，边际成本30c=且没有固定成本.解：根据假设，两个企业的利润函数为：1121121222(130)30(130)30qqqqqqqqππ=−−−=−−−利用反应函数法求出纳什均衡产量（古诺产量）为121003qq==此时，两个企业的利润为：12100009ππ==对于垄断产量而言，市场总利润函数是：(130)30QQQπ=−−对Q求偏导0Qπ∂=∂，即10020Q−=解得市场总利润昀大时的总产量是：50mQ=垄断利润：(130)302500mmmmQQQπ=−−=两个企业的合谋产量：225mmqQ==合谋利润：21250mπ=2.2.无限次重复的古诺模型2.2.1应用无限次重复古诺模型的原理设有两个企业生产完全可以替代的同质产品，它们在市场上进行产量竞争，即相互提出自己的产量，以使利润达到昀大。分别以12,qq表示它们的产量，并记12Qqq=+为市场产品供给总量，产品价格由市场逆需求函数()12()PQaqq=−+决定，企业i的成本为(),(1,2)iiiiCqcqi==，利润函数为()(,)(),,1,2.iijiiiqqPQqCqijπ=−=由于每个局中人在(,)Gδ∞中的收益为该局中人在无限次博弈中所有阶段收益的贴现值：11iiiδπ∞−=∑可以求出来，当917δ≥时，下面的触发策略构成无限次重复古诺模型的子博弈精炼纳什均衡。2.2.2利用无限次重复古诺模型解决实际问题例：在例2.1.2的基础上，贴现因子0.9δ=。如果该市场有长期稳定性，问两个企业是否能维持垄断产量？解：根据假设，两个企业的利润函数为：1121121222(130)30(130)30qqqqqqqqππ=−−−=−−−利用反应函数法求出纳什均衡产量（古诺产量）为121003qq==此时，两个企业的利润为12100009ππ==对于垄断产量而言，市场总利润函数是：(130)30QQQπ=−−对Q求偏导，解得市场总利润昀大时的总产量是：50mQ=垄断利润：(130)302500mmmmQQQπ=−−=由于市场是长期稳定的，因此我们把两个企业的产量博弈看作是无限次重复博弈。假设两企业都采用开始时生产垄断产量的一半，一旦一方偏离就永远生产古诺产量的触发策略。这样如果两个企业都坚持合作，那么两个企业每阶段各得1250，长期总利润的现值是：(1)125001δδδδ++++==−L如果有一个企业（设为企业1）偏离，那么因为它的利润函数为：1111(13025)30qqqπ=−−−那么它会生产产量：137.5q=其当前阶段利润为：167.537.53037.51406.25π=×−×=而此后每阶段都只能生产古诺产量和得到利润100009。因此偏离的长期总利润现在值为：231406.2510000()91406.251000090.9(10.9)11406.25δδδ++++=+×−=L因为1250011406.25，因此坚持垄断产量是正确的选择。这说明在模型假设下，双方都采用上述触发策略是本博弈的子博弈完美纳什均衡，长期坚持垄断产量是可能的。2.3.不完全信息下的古诺模型2.3.1应用不完全信息下的古诺模型的原理设两个企业生产同质产品，进行产量竞争。分别以12,qq表示它们的产量，并记12Qqq=+为市场产品供给总量，产品价格由市场逆需求函数()12()PQaqq=−+决定，企业i的成本为(),(1,2)iiiiCqCqi==，其中2C是企业2的私人类型，企业2的类型空间为2{,},HLTcc=其中HLcc，Lc的概率分布：22{},{}1HLpccpccθθ====−是共同知识，可用以下两个信息求不完全信息下的古诺模型。（1）企业2对于企业1的策略反应函数：固定1q及2c，求222(),scq=则有21222max(130)qqcqπ=−−−求偏导：2122(,)0qqqπ∂=∂，知12220aqqc−−−=解得2212()()2qcaqc=−−故有21()()2HHqcaqc=−−(1)21()()2LLqcaqc=−−(2)（2）求企业1关于企业2的策略反应函数：固定企业2的策略22()sc，选择1q，昀大化期望支付，即求解昀大化问题：12111211max[()](1)[()]HLaqqccqaqqccqθθ−−−+−−−−求偏导可以得到反应函数：12121{[()](1)[()]}2HLqaqccaqccθθ=−−+−−−（3）由（1），（2），（3）联立，可以求得贝叶斯纳什均衡结果[2(1)]3HLqacccθθ∗=−++−21()[2]3(1)()6HHHLqcaccccθ∗=−−+−−21()[2]3()6LLHLqcaccccθ∗=−−+−2.3.2利用不完全信息下的古诺模型解决实际问题例：在例2.1.2基础上，其中2C是企业2的私人类型，企业2的类型空间为2{40,30},T=概率分布为：22{40}34,{30}14pcpc====是共同知识，试求不完全信息下的古诺产量。解：首先求企业2对于企业1的策略反应函数：固定1q及2c，求222(),scq=则有21222max(130)qqcqπ=−−−求偏导：2122(,)0qqqπ∂=∂，知12213020qqc−−−=解得2212()(130)2qcqc=−−故有21(40)(13040)2qq=−−(4)21(30)(30)2qaq=−−(5)求企业1关于企业2的策略反应函数：固定企业2的策略22()sc，选择1q，昀大化期望支付，即求解昀大化问题：12112131max[130(40)30][130(30)30]44qqqqqq−−−+−−−求偏导可以得到反应函数：12231{[130(40)30][130(30)30]}244qqq=−−+−−（6）由（4），（5），（6）联立，可以求得贝叶斯纳什均衡结果131[1302304030]335.844q∗=−×+×+×=2(40)(13030240)310247q∗=−−×+=2(30)(13030230)3302414.6q∗=−−×+=把两个企业的产量代入各自的利润函数，可得两个企业的利润分别为：131(13035.8730)35.8(13035.814.630)35.81979.7444π=−−−×+×−−−×=2131313(13035.8(14.67)(3040))(14.67)425.42444444π=−−×+×−×+××+×=2.4.斯坦克尔伯格双寡头垄断模型2.4.1应用斯坦克尔伯格双寡头模型的原理斯坦克尔伯格（Stacklberg,1934）将古诺模型动态化，提出一个双寡头垄断模型，博弈时序如下：企业1选择产量10q≥；企业2观察到1q，然后选择产量2q；企业(1,2)ii=的利润函数为()(,)(),,1,2.iijiiiqqpQqCqijπ=−=其中，12Qqq=+为市场产品供给总量，()pQ为价格函数，()iiCq为企业i(1,2)i=的成本函数，设C为凸函数斯坦克尔伯格模型可以归结为11122221{|[0,)},{|()}SqqSqqqq=∈∞==的信息完全且完美的动态博弈模型，故可用逆序归纳法求解子博弈精炼纳什均衡，用t表示阶段变量。2t=，企业2观察到企业1的产量1q，选择产量221()qqq=，昀大化利润函数212(,)qqπ，即对于固定的产量求解昀大化问题：()21212222max(,)()qqPqqqCqπ=+−由于212(,)qqπ关于2q是凸函数，由2122(,)0qqqπ∂=∂，有()()1212222()0PqqPqqqCq′′+++−=（7）从中可以解得企业2关于企业1的反应函数221()qqq=。1t=，企业1预测到企业2的反应函数为221()qqq=选择1[0,)q∈∞，昀大化自己的利润函数，即求解昀大化问题：()1121121111max(,())()()qqqpqqqqCqπ=+−对1q求偏导()12111212111()((()))(1())()0PqqqqPqqqqqCq′′′++++−=（8）联立（7）、（8）两式，可以解出子博弈精炼纳什均衡策略。特别地，当()12()PQaqq=−+，(),(1,2)iiiiCqCqi==由（7）式可得企业2关于企业1的策略反应函数为2112()()2qqaqC=−−，由（8）式可以得出112(2)2q