数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版

年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题数列的极限（三）教学目的1、理解数列极限的概念；2、掌握数列极限的运算法则；3、掌握常用的数列极限。4、掌握公比q1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。教学内容【知识梳理】1、数列极限的概念：一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列na中的na无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列na的极限，或叫做数列na收敛于A。2、对概念的理解：（1）有穷数列一定不存在极限，无穷数列__不一定_____极限；（2）数列是否有极限与数列前面的有限项__无关_____；（3）如果一个数列有极限，那么它的极限是一个_确定_____的常数。3可以通过几个反面的例子来理解数列极限的概念：如：2n，当n无限增大时，数列的项也无限增大，显然他们不能与某一个常数无限的接近；又如：1(1)n，当n无限增大时，数列的项始终在1和-1之间摆动，因此也不能与某一个常数无限的接近；再如：1n，虽然当n无限增大时，数列的项与-1会逐渐接近，但这种接近不是无限接近，数列的项与-1的距离始终大于1，即1(1)n不能无限趋近于0。4、数列极限的运算法则如果limnan=A，limnbn=B，那么(1)limn(an±bn)=A±B(2)limn(an·bn)=A·B(3)limnnnba=BA(B≠0)极限不存在的情况是（1）nnalim；（2）极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….注意：数列极限运算法则运用的前提:(1)参与运算的各个数列均有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用.思考：如何正确运用数列极限的运算法则？1、limnan与limnbn存在是limn(an±bn)/limn(an·bn)存在的__充分非必要_______条件。3、几个重要极限①limnC=C（常数列的极限就是这个常数）②设a0，则特别地01limnn③设q∈(-1，1)，则limnqn=0；;1lim,1nnqq,1q或nnqqlim,1不存在。若无穷等比数列1,,,,11qaqaqan叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：qassnn1lim1关于无穷等比数列各项和：1、使用条件：若公比为q，则q的范围是_____01q;2、常见的应用：循环小数化分数；几何应用。【典型例题讲解】例1、求下列极限。(1)limn(1223nn-122nn)(2)limn[n(1n-n)](3)limn(21n+24n+27n+…+223nn)(4)limn)1()1()1()1(11nnnnaaaaaa(a≠1)解：(1)14(2)12(3)32(4)当|a|1时，原式=1；当|a|1时，原式=a；当a=-1时极限不存在变式练习：（1）32211lim_;331_________34nnnnnn（2）1111lim_;1447710(321_)________3(31)nnn例2、已知)413(22limnbnancnnn=5，求常数a、b、c的值。解：a=0，b=34，c=154变式练习：若3lim2103nnanbnn=5，求常数a、b、的值。11,39ab例3、设无穷等比数列na满足135218lim()3nnaaaa，求首项1a的取值范围。解：211288,01,0,133aqaq。变式练习：在等比数列中，a11,前项和Sn满足11limnnSa，那么a1的取值范围是……………………（）（A）（1，＋∞）（B）（1，4）（C）（1，2）（D）（1，2）例4、以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以正方形的边长a为半径，在正方形内画弧，得四个交点1111,,,ABCD，再在正方形1111ABCD内用同样的方法得到又一个正方形2222ABCD，这样无限的继续下去，求所有这些正方形的面积之和（包括正方形ABCD）.解：（提示）221(31),23,2naaaqS变式练习：设T1，T2，T3……为一组多边形，其作法如下：T１是边长为1的三角形以Tn的每一边中间31的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹去所得的多边形为Tn+1，如图所示。令an表示Tn的周长，A(Tn)表示Tn的面积。(Ⅰ)计算T1，T2，T3的面积A(T1)，A(T2)，A(T3)(Ⅱ)求nlim(11a+21a…+na1)的值。解：(Ⅰ)A(T1)=12·1·1·sin60°=34A(T2)=3·12·13·13·sin60°++A(T1)=4312=33A(T3)=12·12·19·19·sin60°+A(T2)=10327(Ⅱ)由分析知an=43an-1(Tn的边数是Tn-1边数的4倍且每边是原来的1/4)故an=3·(43)n-1∵1na=13·(43)n-1nlim(11a+21a+∴…+1na)=13314=43注：本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识，由变化情况来分析周长、面积的变化情况，掌握其规律，将规律与数列联系起来。求面积时，要利用面积公式及对称性，然后由数递推数列来求答。能力点：由图像变化联系数列知识。例5、已知公比(01)qq的无穷等比数列na各项的和为9，无穷等比数列2na各项的和为815。（1）求数列na的首项1a和公比q；（2）对给定的(1,2,,)kkn，设()kT是首项为ka，公差为21ka的等差数列。求(2)T的前10项之和；（3）设ib为数列()iT的第i项，12nnSbbb。求nS，并求正整数(1)mm，使得limnmxsn存在且不等于零。（注：无穷等比数列各项和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）解：（Ⅰ）.依题意得1212a9(1)1qa81(2)51q，⑴代入⑵得1a9(3)1q5，⑴⑶得1q51q，解得2q3，代入⑴得1a3即1a32q3，（Ⅱ）.由（Ⅰ）知n1n1n12aaq3()3，所以(k)kkn1n1Ta(m1)(2a1)223()(m1)[6()1]33所以(2)T23(m1)3m1(mN)，数列{(2)T}是以2为首项，3为公差的等差数列，记{(2)T}的前m项和为mS，所以1010(101)S10231552，（Ⅲ）.由（Ⅱ）知(i)i1i1ii22Ta(m1)(2a1)3()(m1)[6()1]33，所以i1i2b(6i3)()(i1)3，所以012n1n2222S[3()9()15()(6n3)()][(11)(21)31)(n1)]3333，令012n1n2222S3()9()15()(6n3)()3333，所以12n1n2222S3()9()(6n3)()3333，所以12n1nn12222S36[()()()](6n3)()33333n1n22318[1()]3(6n3)()33所以n1nn22S6354()(18n9)()33，n1nn22n(n1)S6354()(18n9)()332，当n1nnmmnn22n(n1)6354()(18n9)()S332limlimnn存在且不为零时，m2。【练习】一、填空：1、求极限：（1）nnn)1(lim___________；（2）nlim112322nnn___________；（3）nlim1122nn___________；（4）322lim11nnnnn=___________；（5）221lim211nnnn=___________；（6）1123lim23nnnnn__________2、已知3543lim2nbnann，则.________________,ba3、nlim.___________)12131211(2222nnnnn4、nlim.__________42221242nn5、nlim._________12)12(4321nnn6、11111lim139273nnn=___________.7、nlim__________)3(27931242111nn.8、))2(1531421311(limnnn=___________.9、)11()311)(211(lim222nn=___________.10、一个无穷等比数列的各项和为9，各项平方和为27，则_______1a.11、设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－21,且nlim（a1+a3+a5+…+a2n－1）=38,则a1=_________________.12、首项为1，公比为q(q0)的等比数列前n项和为Sn，则.______lim1nnnSS13、设数列}{na是公比0q的等比数列，nS是它的前n项和，若nlim7nS，那么1a的的取值范围是__________.14、无穷等比数列中，若任何一项都等于该项后所有项之和，则此数列的公比是_______.15、“无穷等比数列和的极限存在”是“1||0q”的________________________条件.【答案】一、填空：1、（1）0；（2）3；（3）0；（4）-1；（5）1；（6）312、0，-123、24、345、-16、417、08、439、2110、2911、212、110qq0113、701a14、2115、充要二、选择16、已知数列{an}中，a1=1，2an+1=an(n=1，2，3…)，则这个数列前n项和的极限是（）A、2B、21C、3D、3117、已知a、b是互不相等的正数，则nnnnnbabalim（）A、1B、－1或1C、0D、－1或018、nlim［n（1－31）（1－41）（1－51）…（1－21n）］等于（）A、0B、1C、2D、319、在等比数列中，a11,前项和Sn满足11limnnSa，那么a1的取值范围是（）A、（1，＋∞）B、（1，4）C、（1，2）D、（1，2）20、等比数列｛an｝中，a1=－1,前n项和为Sn，若10531,32SS则limnnS（）A、23B、－23C、2D、－221、已知数列2log1na（*nN）为等差数列，且13a，25a，则21321111limnnnaaaaaa（）A、2B、23C、1D、2122、若数列na是首项为1，公比为23a的无穷等比数列，且na各项的和为a，则a的值是()A、1B、2.C、21.D、45.【答案】16、A17、B18、C19、D20、B21、C22、B三、解答题：23、求极限：).632632632632(lim333222nnnn解：原式=nnn)21(...)21()21(21)31(...)31()31(31lim3232=nlimn)31(...)31()31(3132+n