常微分方程答案-4.2

习题4.22.求解下列常系数线性微分方程：(1)(4)540xxx解：特征方程：42540特征根：12342211，，，基本解组：22,,,tttteeee所求通解：221234,,1,2,3,4ttttixcececececi(2)23330xaxaxax解：特征方程：0333223aaa特征根：1,2,3a基本解组：2,,atatatetete所求通解：2123,,1,2,3atixcctcteci(3)(5)40xx解：特征方程：0435特征根：1,2,345022，，基本解组：2221,,,,ttttee所求通解：22212345,,1,2,3,4,5ttixcctctcececi(4)0xxx解：特征方程：012特征根：1,2132i基本解组：112233cos,sin22ttetet所求通解：11221233cossin,,1,222ttixcetcetci(5)21sast（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：20sas特征方程：022a特征根：12,aa当0a，齐次方程通解：12,,1,2atatiscececi，此时0不是特征根，故设特解为sAtB，将其代入原方程可得21aBA，从而特解为211sta，所以所求通解：12211,,1,2atatiscecetcia当0a，0是二重特征根，故齐次方程通解：12,,1,2iscctci，设特解为2stAtB，则将其代入原方程可得11,62AB，从而特解为21162stt，所以所求通解：21211,,1,262iscctttci(6)45223xxxxt（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：4520xxxx特征方程：025423特征根：1,231,2齐次方程通解：2123,,1,2,3ttixcctececi0不是特征根，故设特解为xAtB，将其代入原方程可得1,4AB，从而特解为4xt，所以所求通解：21234,,1,2,3ttixcctecetci(7)(4)223xxxt（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：(4)20xxx特征方程：42210特征根：1,23,41,1齐次方程通解：1234,,1,2,3,4ttixccteccteci方法一：常数变易法求解设原方程通解为1234ttttxctecttectectte，则1234112342312344212340003ttttttttttttttttctecttectecttectctecttectecttectctctecttectecttectctecttectecttet1234ctctctct所以将,1,2,3,4icti代入1234ttttxctecttectectte中即得原方程通解：212341,,1,2,3,4ttixcctecctetci方法二：比较系数法求解由于0不是特征根，故设特解为2xAtBtC，将其代入原方程可得1,0,1ABC，从而特解为21xt，所以所求通解：212341,,1,2,3,4ttixcctecctetci(10)txxe（属于类型Ⅱ）解：齐次方程：0xx特征方程：013特征根：1,2313,12i齐次方程通解：112212333cossin,,1,2,322tttixcetcetceci由于1是一重特征根，故设特解为txAte，将其代入原方程可得13A，从而特解为13txte，所以所求通解：1122123331cossin,,1,2,3223ttttixcetcetceteci(12)texxx256（属于类型Ⅱ）解：齐次方程：650xxx特征方程：0562特征根：121,5齐次方程通解：512,,1,2ttixcececi由于2不是特征根，故设特解为2txAe，将其代入原方程可得121A，从而特解为121txe，所以所求通解：5121,,1,221tttixceceeci(14)ttxx2cossin（属于类型Ⅲ的混合，注意sint和cos2t中t的系数不一样）解：齐次方程：0xx特征方程：012特征根：12i，齐次方程通解：12cossin,,1,2ixctctci①对于sinxxt，由于ii是一重特征根，故设其特解为101cossinxtAtAt，则将其代入sinxxt可得011,02AA，从而sinxxt的特解为11cos2xtt；②对于cos2xxt，由于2ii不是特征根，故设其特解为201cos2sin2xBtBt，则将其代入cos2xxt可得011,03BB，从而cos2xxt的特解为21cos23xt。所以原方程特解为1211coscos223xxxttt，故所求通解：1211cossincoscos2,,1,223ixctcttttci(15)2441ttxxxee（属于类型Ⅰ和Ⅱ的混合）解：齐次方程：440xxx特征方程：2440特征根：122，齐次方程通解：212,,1,2tixccteci①对于44txxxe，由于1不是特征根，故设其特解为10txAe，则将其代入44txxxe可得01A，从而44txxxe的特解为1txe；②对于244txxxe，由于2是二重特征根，故设其特解为2220txBte，则将其代入244txxxe可得012B，从而244txxxe的特解为22212txte；③对于441xxx，由于0不是特征根，故设其特解为30xC，则将其代入441xxx可得014C，从而441xxx的特解为314x。所以，原方程特解为221231124ttxxxxete，故所求通解：2221211,,1,224tttixccteeteci(20)11sinxxt（不属于类型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的混合，用常数变易法求解）解：齐次方程：0xx特征方程：012特征根：12i，齐次方程通解：12cossin,,1,2ixctctci设原方程通解为12cossinxcttctt，则12112212cossin0cos1sin1coscotsinlnsincossin1sincttcttctttcttctttctttcttcttt所以所求通解：1212cossincoscossinlnsinsincossin1cossinlnsin,,1,2ixctctttttttctctttttci3.求下列方程的通解：(1)20txtxx解：做变换ute，则2222211,dxdxdxdxdxdttdudttdudu所以原方程可化为22122200,,1,2uuidxdxdxdxxxxcececidudududu由lnut可得所求通解：21,,1,2icxctcit