第7讲--非线性专题

北京航空航天大学第7讲非线性专题北京航空航天大学第7讲非线性专题7.1非线性问题及分类7.2非线性问题的有限元求解方法7.3材料非线性7.4几何非线性北京航空航天大学7.1非线性问题及分类在分析线性弹性问题时，假定：应力应变线性关系结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）加载时边界条件的性质不变如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题。非线性结构的基本特征：变化的结构刚度()KqqPKqP北京航空航天大学非线性问题可以分为三类：材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变关系的非线性引起。如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化。如板壳的大挠度问题——平衡方程必须建立于变形后的状态接触非线性：接触状态的变化所引起。如金属成形、跌落试验、多零件装配体等北京航空航天大学碰到障碍物的悬臂梁（端部碰到障碍物时，梁端部的边界条件发生了突然变化，阻止了进一步的竖向挠度。）板料的冲压成形接触非线性例子北京航空航天大学随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的进步及实际工业的需求，CAE技术的应用逐步由线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。1969年，第一个商业非线性有限元程序——Marc诞生。目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问题的分析求解能力。非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量一个结构分析程序优劣的标准。北京航空航天大学7.2非线性问题的有限元求解方法非线性方程(组)的求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代法修正的Newton-Raphson迭代法非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中应力和变形的演变历史。）每个增量步采用Newton-Raphson迭代法()KqqP非线性问题有限元控制方程：北京航空航天大学非线性方程的迭代求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代修正的N-R迭代()0fx1()()kkxgxxgx1()()kkkkfxxxfx10()()kkkfxxxfx北京航空航天大学非线性方程组的迭代求解方法11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0nnnnfxxxfxxxfxxxFx0()=1122()0()0,(),0()nnxfxfxfxxxFx0x北京航空航天大学直接迭代法N-R迭代修正的N-R迭代1()()kkxgxxgx11()()kkkkxxFxFx110()()kkkxxFxFx111122221212()knnknnnnfffxxxfffxxxfffxxxxxFx北京航空航天大学非线性问题的增量法求解过程(1)将总的外力载荷分为一系列载荷段(2)在每一载荷段中进行迭代，直至收敛(3)所有载荷段循环，并将结果进行累加北京航空航天大学(1)将总的外力载荷分为一系列载荷段()KqqP北京航空航天大学(2)在每一载荷段中进行迭代，直至收敛()KqqP()1()kTKq()(1)()kkkiiPPP()1kP()()()1kkkiiiqqqN-R迭代:()()()()kkkTiiiKqqP()1kq(1)kq()kq(1)()kKqqP北京航空航天大学(3)所有载荷段循环，并将结果进行累加北京航空航天大学7.3材料非线性7.3.1材料非线性问题及分类7.3.2非线性弹性材料行为7.3.3弹塑性材料行为北京航空航天大学7.3.1材料非线性问题及分类概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的非线性。分类：不依赖时间的弹、塑性问题非线性弹性——橡胶弹塑性——冲压成形依赖于时间的粘（弹、塑）性问题蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化松弛——变形不变，应力随时间衰减北京航空航天大学7.3.2非线性弹性材料行为橡胶应力应变关系曲线北京航空航天大学7.3.3弹塑性材料行为弹塑性材料进入塑性的特征：载荷卸去后存在不可恢复的永久变形。应力应变之间不是单值对应关系，与加载历史有关。北京航空航天大学单轴应力状态下弹塑性材料行为单轴（一维）应力状态下材料的应力应变行为可以从拉伸试验中获得。北京航空航天大学LF0snomnom0s00nomnomFALL0(1)lnl(1n)nomnomnomFALL0sp(1)ln(1)penomnomnomE北京航空航天大学一般应力状态下弹塑性材料行为在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料开始产生塑性变形。对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量为坐标的应力空间，根据代表不同应力路径的实验结果，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服应力点。在应力空间中，这些屈服应力点形成一个区分弹性和塑性的分界面——屈服面。描述这个屈服面的数学表达式就是我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准则。0()0ijF北京航空航天大学常用的各向同性Von-Mises屈服准则：02011()023ijijijsF各向同性屈服准则：各个方向屈服应力相同各向异性屈服准则：不同方向屈服应力有差异北京航空航天大学7.4几何非线性7.4.1几何非线性问题及分类7.4.2几何非线性力学理论基础变形体运动的描述应变的度量方法应力的度量方法7.4.3几何非线性问题的表达格式北京航空航天大学7.4.1几何非线性问题及分类概念：由于大位移、大转动而引起的非线性。分类：大位移、大转动、小应变问题——板壳的大挠度和后屈曲大位移、大转动、大应变问题——薄板成形、弹性材料的受力北京航空航天大学比较：线弹性—几何非线性线弹性：小变形假设——假定物体发生的位移远小于物体本身的几何尺寸，应变远小于1。建立平衡方程时不考虑物体位置和形状的变化。几何非线性：物体发生有限变形——大位移、大转动的情况。建立平衡方程时必须考虑物体位置和形状的变化。北京航空航天大学7.4.2几何非线性力学理论基础变形体运动的描述应变的度量应力的度量弹塑性问题本构方程的客观性北京航空航天大学变形体运动的描述描述物体的运动和变形时，需要选择某一构形作为各种方程式的参考。一般选择未变形构形作为参考构形。物体的构形：某一时刻所占据的空间区域初始构形：未变形构形V0现时构形：当前时刻的变形构形V为了确定变形前后物体构形中质点的位置，通常引入物质坐标系OX1X2X3和空间坐标系ox1x2x3物质坐标（拉格朗日坐标）Xi：代表质点本身，不随时间而变化，提供了材料点的标识。空间坐标（欧拉坐标）xi：仅仅代表质点的空间位置，随时间而变化。北京航空航天大学(,)1,2,3iiixxXti物体的运动方程(,0)1,2,3iiixXXi显然北京航空航天大学(,)1,2,3iiiXXxti函数将参考构形映射到t时刻的当前构形。根据变形的连续性要求，这种变换必须是一一对应的，也即变换应是单值连续的，因此上述变换应有唯一的逆变换(,)1,2,3iiixxXti运动方程(,)iixXt北京航空航天大学拉格朗日（Lagrange）描述（物质描述）：独立变量是材料坐标和时间，而空间坐标是时间的函数，反映了物体中每个质点随时间不同所占据空间点的变化，适用于固体力学问题的描述。欧拉（Euler）描述（空间描述）：将空间坐标和时间作为彼此独立的的变量来处理，反映了同一个空间点在不同时刻被不同的质点占据，一般用于流体力学问题的描述。北京航空航天大学111123222123333123ijxxxXXXxxxFXXXxxxXXXJ也称为运动的Jacobian矩阵iijjxFX使用Jacobian矩阵行列式可以将当前构形和参考构形上的积分联系起来：0(,)((,),)fxtdVfxXttdVJ变形梯度定义关于变形梯度(反映变形特征)北京航空航天大学000dVdVdVdVJ00JJ物体质量在变形过程中是不变的。关于质量守恒定律北京航空航天大学应变的度量有限变形情况下，小变形情况下的应变度量方法已经不再适用，必须重新定义。刚体转动，应变度量必须为零。小变形情况下的应变度量方法不能满足这个要求非线性连续介质力学中使用了多种不同的应变和应变率度量。在有限元方法中使用最普遍的有两种：Green应变张量Eij变形率张量Dij（率形式的本构方程中）北京航空航天大学iijjjijxdxddXXFX20iidldXdX2()()iiiiiimnmnmnmnxxxxdldxdxdXdXdXdXXXXX初始构形中P0Q0距离的平方：现时构形中PQ距离的平方：Green应变张量的定义北京航空航天大学变形前后微段长度平方的变化：220()2kkijijijijijxxdldldXdXEdXdXXX格林(Green)应变张量——初始构形中定义1()2kkijijijxxEXX1,0,ijijijiiixXuiiijjjxuXX进一步引入位移：1()2jikkijjiijuuuuEXXXX北京航空航天大学1ijuX对于小变形问题1()2jiijijjiuuEXXGreen应变张量简化为无限小应变张量：北京航空航天大学11_1122_2233_33121211222323223331313311121121121sin2/(12)(12)sin2/(12)(12)sin2/(12)(12)nomnomnomEEEEEEEEEEEEGreen应变不能直接反映变形的大小，它本身不是伸长度和角变度，而是与伸长度和角变度有一定的关系。Green应变和工程(名义)应变分量的关系为：北京航空航天大学变形率张量Dij的定义为了定义变形率张量的表达式，首先定义速度梯度1122jjiiiijijijjjijivvvvvLDWxxxxx12jiijijjivvDxx12jiijjivvWxx变形率张量转动张量变形率张量Dij在现时构形中定义，其时间积分和真应变相对应。北京航空航天大学应变度量的客观性Green应变张量Eij和变形率张量Dij都是不随刚体转动而变化的客观张量。对于纯刚体运动，应变度量必须为零。否则预示着纯刚体运动中，将导致非零应力。这是线性应变位移方程在非线性理论中被放弃的主要原因。举例具体说明如下：北京航空航天大学考虑物体的刚体运动：（绕原点的转动和平动）北京航空航天大学1()2kkijijijxxEXX格林(Green)应变张量：写成矩阵形式：12TEFFI对于物体的刚体运动：TxxRX则变形梯度：FR正交矩阵111222TTEFFIRRIII0所以：1TRR北京航空航天大学对比：线性应变位移方程cossinsincosTTxxXyYycos1sinsincos1xTyTuxxXXuyYYy