华南理工大学研究生矩阵分析复习资料1

《矩阵分析》复习1矩阵的基本概念：秩，迹，特征根，特征向量，逆，广义逆，转置，谱半径2矩阵的标准形相似（对角形，Jordan标准形），正交相似，酉相似（正规矩阵，上三角阵），合同相似（对称矩阵），奇异值分解3矩阵运算加，减，乘，除，矩阵的幂，矩阵多项式3矩阵的特征多项式，最小多项式4向量与矩阵的各种范数及其计算5特征根上界的估计，盖氏圆盘定理5线性空间的概念，基底，维数，子空间，维数定理，直和6线性变换，核，象，维数公式7欧氏空间，正交，正交变换，正交基G—S过程8二次型，正定性9求对角形，Jordan标准形10向量序列，矩阵序列，求导，积分,矩阵函数自测题一一、判断正误（对正确的打“√”，对错误的打“×”）(20分)(1)不同基底之间的过渡矩阵一定是满秩的。（）(2)按通常矩阵加法及数与矩阵乘法,全体n阶上三角矩阵的集合构成线性空间。（）(3)正交变换是线性变换，反之亦然。()(4)在初等变换下，多项式矩阵的各阶行列式因子保持不变。（）(5)矩阵A与B相似，则它们必有相同的特征多项式和最小多项式。()(6)方阵A的的任意两个范数不一定等价。()(7)任何方阵均可酉相似于对角形。()(8)矩阵A的每个盖尔圆必含有特征根。（）(9)若lim0mmA（零矩阵），则有()0A。（）(10)对于任一正规方阵A而言，2FAA。()二、填空（30分）(1)线性子空间0{|0,,,}00abWAAbaabcRc的维数为___________.(2)向量(1,2,1)在基123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)下的坐标为___________(3)若矩阵460350361A,则()RA的维数为___________(4)若矩阵A为正交矩阵,其FA_____________.(5)在3R中,线性变换T对任意的实数,,xyz,满足(,,)(,,)TTTxyzyzzxxyz,则T对应的矩阵为__________.(6)若矩阵130.6210.80.80.50A，则矩阵A的盖尔圆为_______________(7)若311021002A,则1det()A_______________.(8)设100310131003A，则limmmA______________(9)已知()sincos0110ttetetAttttt,则()dAtdt_____________(10)若1100010000110001A,则矩阵A的迹等于_______________.(11)若矩阵A的初级因子为3(1),(1),则A的约当标准形为________(12)设12VV是直和，12dim()VV___________(13)设123212321N,则1N_________(14)设11()11A,则()A的史密斯标准型为_____________(15)设1200210000120021A,则detAte_________.三、（15分）求4R的子空间：12341234{(,,,)|0}Vaaaaaaaa,12341234{(,,,)|220}Waaaaaaaa的交VW一个基，并求相应的标准正交基。四、（15分）已知矩阵110430102A的约当标准型为200010011J，求：(1)所用的矩阵P及1P，使得1PAPJ；(2)矩阵A的极小多项式。五、（20分）设110010002A,求：(1)A的特征值和特征向量；(2)det(sinAt)；(3)Ate。自测题二一、判断正误（对正确的打“√”，对错误的打“×”）(20分)(1)设12VV为直和，则12VV一定含有非零元素。（）(2)对于有限维线性空间而言，其基底不同，所含线性无关元素个数一定相同。（）(3)正交矩阵的特征根为零或纯虚数。()(4)任意的厄米特矩阵均可酉相似于对角形。（）(5)矩阵A与B相似，则它们必有相同的初级因子。()(6)方阵A的特征多项式一定等于最小多项式。()(7)任何方阵均可酉相似于对角形。()(8)矩阵A的象空间的维数不超过A的秩。（）(9)若lim0mmA（零矩阵），则有()1A。（）(10)设方阵1101A，则有2FAA。()二、填空（30分）(2)线性子空间0{|,,,}0abWAAbababcRbc的维数为___________.(2)向量(1,2,3)在基123(1,0,1),(1,1,0),(2,2,1)下的坐标为___________(3)若矩阵100101010A,则Ker()A的维数为___________(4)若矩阵A为n阶反厄米特矩阵,其AFe_____________.(5)在3R中,有两组基：(i)123(1,0,1),(2,1,1),(1,1,1)(ii)123(0,1,1),(1,1,0),(1,2,1)则第一组基到第二组基的矩阵为__________.(6)若矩阵102011010A，则矩阵322BAAE_______________(7)若110120003A,则1det()A_______________.(8)设10010321002A，则limmmA______________(9)已知()sincostteteAtttt,则10()Atdt_____________(10)若110.50.61.100.60.80.20210.30.32.03A,则矩阵A盖尔圆为_______________.(11)若矩阵A的初级因子为2(1),(1),(1),则A的约当标准形为________(12)矩阵1132125tAt正定，则t的取值范围为___________(13)设000100010N,则2N_________(14)设211()1(1)A,则()A的史密斯标准型为_____________(15)设1211211100120021A,则2detAte_________.三、（15分）求5R的子空间：1234512345{(,,,,)|230}Vaaaaaaaaaa,1234512345{(,,,,)|32220}Waaaaaaaaaa的交VW一个基，并求相应的标准正交基。四、（15分）已知矩阵460350361A，求：(1)所用的矩阵P及1P，将A化为约当标准形J；(2)矩阵A的最小多项式。五、（20分）设0100018126A,求：(1)A的约当标准形J；(2)Jte；(3)det[cos()]At。自测题三一、(20分)判断正误（对正确的打“√”，对错误的打“×”）(1)设V为n维线性空间，则任一组1n个向量必线性相关。（）(2)方阵A与TA相似。（）(3)正交变换的乘积仍是正交变换。()(4)设12(,,,)mVL，则dimVm。（）(5)任一线性变换对应的矩阵恒满秩。()(6)方程组TTAAxAb一定有解。()(7)任何厄米特矩阵均可正交相似于对角矩阵。()(8)矩阵A为厄米特矩阵，则为Ae酉矩阵。（）(9)两个正规矩阵的特征多项式相同，则他们正交相似。（）(10)设方阵11201A，则有2FAA。()二、（30分）填空(3)线性子空间0{|,,}aWAAabRab的基底为___________.(2)向量(3,7,1)在基123(1,3,5),(6,3,2),(3,1,0)下的坐标为___________(3)若矩阵1120101101310131A,则Im()A的维数为___________(4)若矩阵A为n阶酉矩阵,其2A_____________.(5)在3R中,有两组基：(i)12311111(1,0,1),(1,,),(,,)22222(ii)123(0,0,1),(0,1,1),(1,2,1)则第一组基到第二组基的矩阵为__________.(6)若矩阵102011010A，则矩阵4222BAAAE_______________(7)若3553A,则1det()A_______________.(8)设200310631003A，则limmmA______________(9)已知221()20300tttteteAteet,则()dAtdt_____________(10)若10.10.20.530.1131A,则矩阵A盖尔圆为_______________.(11)若矩阵A的初级因子为2(1),(1),(2),则A的约当标准形为________(12)矩阵1011011tAt正定，则t的取值范围为___________(13)设1101N,则2N_________(14)设221()1A,则()A的史密斯标准型为_____________(15)设1210010110100121A,则detAte_________.三、（15分）求5R的子空间：1234512345{(,,,,)|230}Vaaaaaaaaaa,123451235{(,,,,)|0}Waaaaaaaaa的交VW一个基，并求相应的标准正交基。四、（15分）已知矩阵5281815331610A，求：(1)所用的矩阵P及1P，将A化为约当标准形J；(2)矩阵A的最小多项式。五、（20分）设120210003A,求：(1)A的特征值和特征向量；(2)Ate；(3)det[sin(2)]At。