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第七章多元函数微分学作业1多元函数1．填空题（1）已知函数，则；（2）的定义域是；（3）的定义域是；（4）函数的连续范围是全平面；（5）函数在处间断.2．求下列极限（1）；解：（2）.解：由于，，故3．讨论极限是否存在.解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在4．证明在点分别对于每个自变量或都连续，但作为二元函数在点却不连续.解：由于从而可知在点分别对于每个自变量或都连续，但沿着曲线,有因而异，从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.作业2偏导数1．填空题（1）设，则；（2）（3）设，则；（3）设，则0；（4）曲线在点处的切线与轴正向的倾角是.2．设，证明.证:因为所以3.设，求，.解：，从而4．设，证明.解：因为所以5．设函数.（1）试求的偏导函数；解：当，当，（2）考察偏导函数在点处是否连续.，故在点处连续，不存在，从而在点处不连续作业3全微分及其应用1．填空题（1）在点处偏导数存在是在该点可微的必要条件；（2）函数在点处，当时有全增量，全微分；（3）设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；（4）在点处的；（5）,则；（6）,则；（7）,则.2．证明：在点处连续，与存在，但在处不可微.证：由于从而但是不存在，从而在处不可微.3．设函数试证：（1）函数在点处是可微的；证：因为又所以函数在点处是可微的（2）函数在点处不连续.证：当不存在，故在点处不连续作业4多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设，则；（2）设，则；（3）设，则；（4）设，则.2．求下列函数的偏导数（1）设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：（2）设，其中均可微，求和.解：因为从而所以3．验证下列各式（1）设，其中可微，则；证：因为所以（2）设，其中可微，则.证：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，求.解：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：.证：因为从而左边作业5隐函数求导法1．填空题（1）已知，则；（2）已知，则；（3）已知，则；（4）已知，则；（5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则.2．设其中具有二阶连续偏导数，求．解：3．求由方程组所确定的及的导数及.解：由已知4．设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且.试证：.证：因为，5．设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程，求.解：因为特征方程为作业6方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数在点的梯度为；（4）函数在点处沿方向的方向导数是，且函数在该点的梯度是；（5）函数在点处沿方向的方向导数是；（6）函数在点处沿指向点方向的方向导数是.2．求在点及点处的梯度间的夹角.解：夹角余弦为3．求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向的值不变？解：，在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变4．设轴正向到得转角为，求函数在点处沿着方向的方向导数.解：，由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向的方向导数：作业7偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点的坐标是；（2）曲面在点处的切平面方程是；（3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点处的指向内侧的单位法向量为；（4）曲面在点处的法线方程是；（5）已知曲线上点的切线平行于平面，则点的坐标是或．2．求曲线在对应于的点处的切线和法平面方程.解：切点为，从而切线为，法平面为3．求两个圆柱面的交线在点处的切线和法平面的方程.解：，切线为，法平面为4．求曲面在点处的切平面及法线的方程.解：切平面为，法线为5．求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数.解：指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为6．证明：曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数.证：设切点为，则切平面为令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。作业8多元函数的极值1．填空题（1）函数的极值是0；（2）函数的极值点是；（3）函数的极值点是；（4）函数的极值是；（5）函数的极值是.2．证明：函数有无穷多个极大值点，但无极小值点.证：因为由得驻点坐标为又故只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。3．求函数在条件下的极值.解：令则从而4．求函数在圆域上的最大值与最小值.解：先求圆内部的驻点得驻点，再求圆周上的有约束极值，令则若则必有矛盾，若则必有或由于从而要求的最大值为4，最小值为5．在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体.解：设在第一卦限内的顶点坐标为，则令，则由，可得，其长宽均为，高为6．求椭圆的长半轴和短半轴.解：由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束条件下或的最值取由从而，当时，由约束条件当时，由约束条件于是椭圆的长半轴为和短半轴为.第七章《多元函数微分学》测试试卷1．单项选择题（每小题3分）（1）二重极限值为（D）（A）0；（B）1；（C）；（D）不存在.（2）二元函数在点处的两个偏导数和都存在，则（D）(A)在该点可微；(B)在该点连续可微；(C)在该点沿任意方向的方向导数存在；(D)以上结论都不对.（3）函数在处（A）(A)不取极值；(B)取极小值；(C)取极大值；(D)是否取极值依赖于.（4）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（B）（A）只有1条；（B）只有2条；（C）至少有3条；（D）不存在.（5）设，其中，下面运算中（B），(A)、都不正确；(B)正确，不正确；(C)不正确，正确；(D)、都正确.2．填空题（每小题3分）（1）已知理想气体状态方程，则；（2）设，则；（3）函数在点的梯度为；（4）已知，其中为可微函数，则；（5）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线的方程为3．设，其中均为二阶可微函数，求.解：因为所以4．设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数.解：从而5．已知，其中均为可微函数，求.解：对函数取全微分得，从而6．设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数.解：指向下侧在此即抛物面的外侧，从而7．在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标.解：设切点为，则切平面为在的最值问题与在下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。令则与约束条件结合推得由于在第一卦限，从而切点为8．设（1）求，；（2），是否在原点连续？在原点是否可微？说明理由.解：（1）当，当在此为分段点，用定义求偏导数（2），在原点因为二重极限不存在从而不连续，但9．已知为常数，且，求证：.解：令，则问题化为在约束条件下的最大值为1令，则，结合约束条件由于该实际问题的最大值一定存在，又可能点唯一，因此最大值为从而第八章重积分作业9二重积分的概念与性质1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：（1）与(a)D是由直线及所围成的闭区域；(b)D是由圆周所围成的闭区域．解：(a)因为在区域内部有，从而大(b)因为在区域内部有，从而大（2）与(a)D是矩形闭区域：；(b)D是矩形闭区域：．解：(a)因为在区域内部有，从而大(b)因为在区域内部有，从而大（3）与，其中是由三个坐标面与平面所围成的闭区域．解：因为在区域内部有，从而，因此大2．利用积分的性质，估计下列各积分的值：（1），其中D是矩形闭区域：；解：因为在区域内部有，因此（2），其中为球体；解：因为在区域内部有，因此（3），其中L为圆周位于第一象限的部分；解：因为在曲线上积分，不妨设，，因此（4），其中为柱面被平面所截下的部分．解：因为在曲面上积分，从而，，因此作业10二重积分的计算1．试将二重积分化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为：（1）由直线及双曲线所围成的闭区域；解：作图得知区域D可以表示为：，得区域D也可以分块表示为：从而（2）环形闭区域：．解：在极坐标下环形闭区域为从而在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为2．改换下列二次积分的积分次序（填空）：（1）；（2）；（3）．3．画出积分区域，并计算下列二重积分：（1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；解：作图，原式=（2），其中D是由所确定的闭区域；解：作图，原式=（3），其中D是由不等式所围成的闭区域；解：作图，原式=（4），其中D是顶点分别为的三角形闭区域．解：作图，原式=4．求由曲线所围成的闭区域的面积．解：曲线方程联立，得作图知，原式=5．求由四个平面所围柱体被平面及所截得的立体的体积．解：四个平面决定的区域D为：在区域D内部从而所截得的立体的体积6．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分：（1）（2）；7．利用极坐标计算下列积分：（1），其中D是由圆周所围成的闭区域；解：D是圆周，即从而（2），其中是由圆所围成的闭区域；解：D是圆周围成，知其为从而原式=（3），D是与所确定的闭区域；解：D是圆环的关于原点对称的两部分，，与从而原式=（由对称性更简单：因为，对称点的积分微元反号）（4），其中D是介于两圆和之间的闭区域．解：D介于两圆之间，可知从而原式=8．用适当的坐标计算下列积分：（1），其中是由直线，，，（）所围成的闭区域；解：作图知由直角坐标表达方便，（2），其中是由圆周所围成的闭区域；解：由表达式由极坐标表达方便，，原式=（3），D：；解：先作坐标轴平移，再用极坐标原式=（4），D：．解：用广义极坐标原式=作业11三重积分的概念与计算1．试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为：（1）由双曲抛物面及平面所围的闭区域；（2）由曲面及所围的闭区域．2．计算下列三重积分：（1），其中为平面，所围成的四面体；解：分析边界作图知为，原式=（2），其中是由曲面与平面所围的闭区域；解：分析边界作图知为，原式=（3），其中是由平面及抛物柱面所围的闭区域．解：分析边界作图知为，原式=3．利用柱面坐标计算下列三重积分：（1），其中是曲面和平面所围成的闭区域；解：原式（2），其中是曲面及所围成的闭区域；解：原式（3），其中是曲面和平面所围成的闭区域；解：原式（4），其中是曲面和平面所围成的闭区域．解：先作坐标轴平移，再用柱坐标原式=4．利用球面坐标计算下列三重积分：（1），其中是球面所围成的闭区域；解：原式（2），其中是由不等式（），所确定的闭区域；解：原式（3），其中是不等式，所确定的闭区域．解：原式5.选取适当的坐标计算下列三重积分：（1），其中是柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域；解：用柱坐标原式=（2），其中是球面所围的闭区域；解：用球坐标原式（3），其中是由曲面及平面所围的闭区域；解：用柱坐标原式=（4），其中是球面所围的在第一卦限内的闭区域；解：用球坐标原式（5），其中是椭球面所围成的闭区域．解：用广义球坐标原式作业12重积分的应用1．球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成正比，求这球体的质量．解：设球面的方程为，球的密度为则球体的质量为2．求球体的质心，这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐标原点的距离的平方．解：由对称性，质心应该在z轴上，可设为，3．设均匀平面薄片为椭圆形闭区域：，求转动惯量．解：用广义极坐标4．设半径为的球体内每一点密度的大小与该点到球心的距离成正比，求质量为非均匀球体对其直径的转动惯量．解：设球面的方程为，球的密度为则球体对其直径的转动惯量为5．求面密度为常数的均匀圆环形薄片：对位于轴上的点处的单位质量的质点的引力．解：设环域上点处的单位面积产生的引力微元为，由对称性6．一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，，所围成，（1）求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于z轴的转动惯量．解：由对称性，质心应该在z轴上，可设为，第八章《重积分》测试题1．选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：（1）设有空间闭区域，，则有（D）（A）；（B）；（C）；（D）．（2）设平面闭区域，，则（A）（A）；（B）；（C）；（D）．（3）设是有界闭区