基本初等函数复习课知识总结

知识结构及知识梳理基本初等函数指数与指数函数对数与对数函数幂函数指数指数函数N次方根及其性质根式及其性质分数指数幂有理数指数幂的运算性质定义图像及性质对数对数函数定义运算性质换底公式定义图像和性质定义图像和性质指数式与对数式1、各种有理数指数的定义：①正整数指数幂：an=a·a···a（n∈N）②零指数幂：a0=1（a≠0）③负整数指数幂：a－n=（a≠0，n∈N）④正分数指数幂：a=（a＞0，n＞1，m、n∈N）⑤负分数指数幂：a－=（a＞0，n＞1，m、n∈N）1anmnmn√nam√nam12、幂的运算法则：①am．an=am＋n②am÷an=am－n（a≠0）③（am）n=amn④（ab）m=ambm3、对数：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记为b=logaN。ab=Nb=logaN。（a＞0且a≠1）logaN4、对数恒等式：a=N（a＞0且a≠1，N＞0）5、对数的性质：①0和负数没有对数；②loga1=0；③logaa=1。6、对数的运算法则：①loga(MN)=logaM＋logaN（M，N＞0）③logaMn=nlogaM（M＞0）②loga=logaM－logaN（M，N＞0）MN7、对数的换底公式：logaN=logbNlogba重要推论：logab·logba=1，logabn=logabmmn8、以e为底的对数叫做自然对数以10为底的对数叫做常用对数。指数函数与对数函数1、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈R；②y∈(0,+∞);③过定点(0,1)④当x＞0时,y＞1,x＜0时,0＜y＜1④当x＞0时,0＜y＜1,x＜0时,y＞1⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.xoyxoyxoyxoy2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：a＞10＜a＜1图象性质①x∈(0,+∞)；②y∈R;③过定点(1,0)④当x＞1时,y＞0,0＜x＜1时,y＜0④当x＞1时,y＜0,0＜x＜1时,y＞0⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.〖方法小结〗1、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数a的影响，所以分类讨论思想表现得更为突出，同时两类函数的函数值变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。2、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。〖方法小结〗1、解决指数、对数问题的常用技巧：①化为同底②指、对数式互化⑤换元法：y=af(x)和y=m(ax)2+nax+p③af(x)=bg(x),两边取常用对数,化为f(x)lga=g(x)lgb④图象法:含有指数、对数的混合型方程，常用图象法求近似解或求解的个数。幂函数1、定义：形如y=xn（n是常数）叫做幂函数。2、在高考中n限于在集合{－２，－1，－，，，1，2，3}中取值。1212133、图象与性质：n＜0n＞1n＝10＜n＜1xyo①定义域、值域、奇偶性：视n的情况而定；②当n＞0时在(0,＋∞)为增函数，当n＜0时在(0,＋∞)为减函数；③当n＞0时图象都过(0,0)和(1,1)点;当n＜0时过(1,1)点.学点四对数的综合应用已知函数f(x)=.（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)在(1,+∞)上是增函数.1-x1xlog21【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.【解析】（1）由0解得f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),∵f(-x)====-f(x),∴f(x)是奇函数.1-x1x1-x-1x-log211x1xlog211-x1xlog-21（2）证明:设x1,x2∈(1,+∞)，且x1x2,u(x)==,则1-x1x1-x21返回【评析】无论什么函数，证明单调性、奇偶性，定义是最基本、最常用的方法.u(x1)-u(x2)=∵x2x11,∴x2-x10,x1-10,x2-10,∴u(x1)-u(x2)0,即u(x1)u(x2)0,∵y=logu在(0,+∞)上是减函数,∴logu(x1)logu(x2),即loglog,∴f(x1)f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.1)1)(x(x)x2(x)1-x21-x22(211221)1-x2(11-x21211-x1x22211x1x1121212121返回3、熟练掌握一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性。①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；②奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性；③y=f(x)与y=－f(x)有相反的单调性；④当y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性。4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：函数的定义域2、求函数的定义域的主要依据是：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数非负；③对数的真数大于0；④指数、对数函数的底数大于0且不等于1；⑤指数为0或负数时，底数不为0；⑥实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。1、函数的定义域是指自变量的取值范围。3、求解函数的定义域实际上是转化为求解不等式或不等式组。