基本初等函数经典总结

-1-第十二讲基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则：（1）rsrsaaa；（2）srrsaa；（3）rrrabab；（4）mnmnaa；（5）1mnnmaa（6）,||,nnanaan奇偶2).指数函数：形如(01)xyaaa且2.对数函数1）对数的运算：1、互化：NbNaablog2、恒等：NaNalog3、换底：abbccalogloglog指数函数0a1a1图象表达式xya定义域R值域(0,)过定点(0,1)单调性单调递减单调递增-2-推论1abbalog1log推论2logloglogababcc推论3loglogmnaanbbm)0(m4、NMMNaaaloglogloglogloglogaaaMMNN5、MnManaloglog2）对数函数：3.幂函数一般地，形如ayx（aR）的函数叫做幂函数，其中a是常数1)性质：(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);对数函数0a1a1图象表达式logayx定义域(0,)值域R过定点(1，0)单调性单调递减单调递增-3-(2)如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数；(3)如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴。四：典型例题考点一：指数函数例1已知2321(25)(25)xxaaaa，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵2225(1)441aaa≥，∴函数2(25)xyaa在()，∞∞上是增函数，∴31xx，解得14x．∴x的取值范围是14，∞．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．例2函数221(01)xxyaaaa且在区间[11]，上有最大值14，则a的值是_______．分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围．解：令xta，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t．∴当1a时，∵11x，，∴1xaaa≤≤，即1taa≤≤．∴当ta时，2max(1)214ya．解得3a或5a（舍去）；当01a时，∵11x，，∴1xaaa≤≤，即1ata≤≤，∴1ta时，2max11214ya，解得13a或15a（舍去），∴a的值是3或13．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．例3求函数216xy的定义域和值域．解：由题意可得2160x≥，即261x≤，∴20x≤，故2x≤．∴函数()fx的定义域是2，∞．-4-令26xt，则1yt，又∵2x≤，∴20x≤．∴2061x≤，即01t≤．∴011t≤，即01y≤．∴函数的值域是01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．例4求函数y＝23231xx的单调区间.分析这是复合函数求单调区间的问题可设y＝u31,u＝x2-3x+2，其中y＝u31为减函数∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y＝u31,u＝x2-3x+2,y关于u递减，当x∈(-∞，23)时，u为减函数，∴y关于x为增函数；当x∈［23，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.考点二：对数函数例5求下列函数的定义域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=logx+1（16-4x）（3）y=．解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝．（2）令得故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．-5-（3）令，得故所求定义域为｛x｜x＜-1-，或-1-＜x＜-3,或x≥2｝．说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．例6比较大小：（1）log0．71．3和log0．71．8．（2）（lgn）1．7和（lgn）2（n＞1）．（3）log23和log53．（4）log35和log64．解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以log0．71．3＞log0．71．8．（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．例7已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值．分析要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．解：∵f（x）=2+log3x，∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2-6-=（2+log3x）2+2+2log3x=log23x+6log3x+6=（log3x+3）2-3．∵函数f（x）的定义域为［1，9］，∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有定义，就须91912xx，∴1≤x≤3．∴0≤log3x≤1∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13．说明本例正确求解的关键是：函数y=［f（x）］2+f（x2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．其实我们还能求出函数y=［f（x）］2+f（x2）的值域为［6，13］．例8求函数y=log0．5（-x2+2x+8）的单调区间．分析由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x＜4）的单调性相反．解．∵-x2+2x+8＞0，∴-2＜x＜4，∴原函数的定义域为（-2，4）．又∵函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数，∴函数y=log0．5（-x2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数．评析判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．考点三：幂函数例9．比较大小：（1）11221.5,1.7（2）33(1.2),(1.25)（3）1125.25,5.26,5.26（4）30.530.5,3,log0.5解：（1）∵12yx在[0,)上是增函数，1.51.7，∴11221.51.7（2）∵3yx在R上是增函数，1.21.25，∴33(1.2)(1.25)（3）∵1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，∴115.255.26；∵5.26xy是增函数，12，∴125.265.26；-7-综上，1125.255.265.26（4）∵300.51，0.531，3log0.50，∴30.53log0.50.53例10．已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．解：∵幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，∴2230mm，∴13m；∵mZ，∴2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，∴223mm是奇数，∴0m或2m．例11、求函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）值域．解析：设t＝x51，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．五：课后练习1、若a＞1在同一坐标系中，函数y=ax和y=logxa的图像可能是（）ABCD2．求值40625.0+416-（）0-3833=3.下列函数在,0上为减函数的是（）Ａ．13yxＢ．2yxＣ．3yxＤ．2yx答案：Ｂ-8-4.已知x=21,y=31,求yxyx-yxyx的值5．若a21＜a21－，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞0C．1＞a＞0D．1≥a≥0解析：运用指数函数的性质，选C．答案：C6.下列式子中正确的是（）Aloga)(yx=logax-logayByaxaloglog=logxa-logyaCyaxaloglog=logyxaDlogax-logay=logyxa