培优专题(二) 构造基本图形解直角三角形的实际问题

数学湘教版九年级上册课件目录首页末页培优专题(二)构造基本图形解直角三角形的实际问题基本图形：图1数学湘教版九年级上册课件目录首页末页图形解读：如图1所示，点B，C，D在同一条直线上，AD⊥BD，∠α和∠β是特殊角(30°，45°，60°)，该图一般应用在测量不能到达的物体的高度等实际问题中．常见类型：类型一：已知BC的长及∠α，∠β的大小，求AD的高；类型二：已知AD的高及∠α，∠β的大小，求BC的长．数学湘教版九年级上册课件目录首页末页[2015·西藏]如图2，某数学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在A点测得屋顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前进10m，到达B点，在B点测得屋顶C的仰角为60°，已知测量仪的高度为1m，请你根据他们的测量数据计算建筑物CF的高度(结果保留根号)．图2数学湘教版九年级上册课件目录首页末页解：∵∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BA＝BC＝10，在Rt△CBD中，sin∠CBD＝sin60°＝CDBC，∴32＝CD10，解得CD＝53，∴CF＝CD＋DF＝53＋1.答：建筑物CF的高度为(53＋1)m.数学湘教版九年级上册课件目录首页末页图3图形解读：如图3，一般情况下，只给出△ABC，没有给出BC边上的高，且∠BAC不一定是直角，该图形一般出现在测量河的宽度，航行或航海的测量中．常见类型：已知BC的长及∠α与∠β的大小，求点A到BC的距离(即AD的长)．数学湘教版九年级上册课件目录首页末页[2015·内江]我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图4)，问修筑公路时，这个小区是否需要搬迁？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图4数学湘教版九年级上册课件目录首页末页例2答图【解析】根据题意，在△MNP中，∠MNP＝30°，∠PMN＝45°，MN＝2千米，是否搬迁看P点到MN的距离与0.6千米的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此要求P点到MN的距离，作PD⊥MN于D点．数学湘教版九年级上册课件目录首页末页解：过点P作PD⊥MN于D，由题意得，∠PMN＝45°，∠MNP＝30°，∴MD＝PD，ND＝PDtan30°＝3PD，∵MD＋ND＝MN，∴3PD＋PD＝2，∴PD＝23＋1＝3－1≈1.73－1＝0.730.6.答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区不需搬迁．数学湘教版九年级上册课件目录首页末页图5图形解读：图5主要应用于利用已知物体的高度，求未知物体的高度．常见类型：已知建筑物AE(或探测气球A)的高度，在A处测得建筑物BC的楼顶B和楼底C的仰角和俯角分别为α，β，求建筑物BC的高度．数学湘教版九年级上册课件目录首页末页如图6，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？(3≈1.732，结果保留小数点后一位)图6数学湘教版九年级上册课件目录首页末页例3答图解：过A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝120m，数学湘教版九年级上册课件目录首页末页∴BD＝AD·tan30°＝120×33＝403m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝120m，∴CD＝AD·tan60°＝120×3＝1203m，∴BC＝403＋1203＝1603≈277.1m.答：这栋楼高约为277.1m.数学湘教版九年级上册课件目录首页末页图7图形解读：如图7所示，水坝、路基的横断面即为该形状，因此该图形一般出现在工程问题中，一般情况下是已知上底、坝高(路基高)及两底角(或两坡角坡度)，求下底．数学湘教版九年级上册课件目录首页末页常见类型：类型一：如图7，已知坝顶a(上底)、坝高h、两坡坡角，求坝底(即BF)宽．类型二：如图8，在图7的基础上变成堤坝加固(加宽、加高)的问题．图8数学湘教版九年级上册课件目录首页末页(1)求加固后坝底增加的宽度AF；(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．(结果保留根号)如图9，某防洪指挥部发现长江边一处长500m，高10m，背水坡的坡度为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3m，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶3.图9数学湘教版九年级上册课件目录首页末页例4答图解：(1)分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB交AB于点G，H.∴四边形EGHD是矩形，∴ED＝GH.在Rt△ADH中，AH＝DHtan∠DAH＝10tan45°＝10m，在Rt△FGE中，i＝1∶3＝EGFG，数学湘教版九年级上册课件目录首页末页∴FG＝3EG＝103m.∴AF＝FG＋GH－AH＝103＋3－10＝(103－7)m；(2)设防洪堤长为l，加宽部分的体积V＝S梯形AFED·l＝12(3＋103－7)×10×500＝(250003－10000)m3.答：(1)加固后坝底增加的宽度为(103－7)m；(2)需土石(250003－10000)m3.数学湘教版九年级上册课件目录首页末页图10数学湘教版九年级上册课件目录首页末页图形解读：图10(1)一般出现在测量山的高度中(如本图中AE为山高)，通过分别在山脚(B处)，山腰(C处)测得山顶的仰角(∠γ，∠α)及从山脚到山腰的距离(BC)及坡角(∠β)，求山的高度(AE)；图10(2)一般出现在不同位置测量铁塔或标志牌(AF)的高的实际问题中．【思想方法】对于图10(1)，通过C作CF⊥BE于F，CD⊥AE于D，在四边形ACBE中构造出两个直角三角形和一个矩形，然后利用直角三角形的边角关系求解；对于图10(2)，一般实际背景较复杂，要充分利用已知条件，根据三角函数的定义求解．数学湘教版九年级上册课件目录首页末页如图11，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度为i＝1∶3，AB＝10m，AE＝15m．求这块广告牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图11数学湘教版九年级上册课件目录首页末页例5答图解：过点B作BF⊥DE于点F，在Rt△ADE中，DE＝AE·tan∠DAE＝15×tan60°＝153m.∵山坡AB的坡度i＝1∶3，AB＝10m，数学湘教版九年级上册课件目录首页末页∴由勾股定理得BH＝5m，AH＝53m，∴EF＝BH＝5m，BF＝AH＋AE＝(53＋15)m.∵∠CBF＝45°，∴CF＝BF＝(53＋15)m.∴CD＝CF＋EF－DE＝20－103≈2.7m.答：这块广告牌CD的高度约为2.7m．