8.3.1-平面向量的直角坐标及其运算

平面向量的直角坐标及其运算Page22_________,,,)1()6(_________,,,)5(_____________,2____________,3(4).________,,,,)3(_____)2(________,_______)1(点的位置关系是三则若是三点的位置关系则若的关系是与则的关系是与则形是则这个平行四边形又则若满足记中在平行四边形表示关系用符号向量是与CBAOCtOBtOACBAACABbababababababADaABABCDCDBCABBAAB复习相反BAABAD长方倍长度是方向相同3,倍长度是方向相反2,三点共线三点共线Page33引入:1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示?2.平面向量是否也有类似的表示呢?OxyA(a,b)abaPage44平面向量基本定理22112121,,,eeaaee使得对实数有且只有一意向量那么对于这一平面内任共线的向量，是同一平面内的两个不如果的一组基底叫做这一平面所有向量其中21,eea1e2e22e11e00212211ee特别的Page55平面向量坐标的引入那么当||=||=1且与垂直时，就可以建立直角坐标系…不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.21,ee1e2e1e2ePage66其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.xyoija)y,x(a⑴⑴式叫做向量的坐标表示.注：每个向量都有唯一的坐标.（一）平面向量坐标的概念(2)任作一个向量a，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj.我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作得到实数对:在直角坐标系内，我们分别Page77平面向量的坐标表示：把=(x,y)叫做向量的坐标表示以下三个特殊向量的坐标是：===(1,0)(0,1)(0,0)aij0aOYXij两个向量相等的等价条件是两个向量坐标相等11221212(,),(,)axybxyabxxyy如果,那么,且Page88例1.用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4-3-2-11234ABij12-2-1Oxyabcd问1:设的坐标与的坐标有何关系?,aABaAB、45323(2,3)ABij23(2,3)bij23(2,3)cij23(2,3)dija的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。Page991122(,),(,),AxyBxy若则AB问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？问1:设的坐标与的坐标有何关系?,aABaAB、问3:相等向量的坐标有什么关系？1ABij1OxyaA1B1(x1,y1)(x2,y2)P(x,y)b2121(,)xxyy结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。Page10104321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy向量的坐标与点的坐标关系O向量P（x，y）一一对应OPxiyjPage1111小结:对向量坐标表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)相等的向量有相等的坐标.),,(),,(2211yxbyxaba，若.,),,(),(21212211yyxxyxyx即则Page1212练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.(1)(1,2)a(2)(1,2)b(1,2)A.xyoaxyo(1,2)B.解：bPage13131122(,),(,),,(,),axybxyababaxya问题:(1)已知求的坐标.(2)已知和实数求的坐标.（二）平面向量的坐标运算：1122(1)abxiyjxiyj1212(,)abxxyy同理得(2)(,)axiyjxiyjxy结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.1212xxiyyj1212(,)xxyyPage1414已知，求的坐标.ABOxyB(x2,y2)A(x1,y1)ABOBOA结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。1122(,),(,)AxyBxy从向量运算的角度2,211()(,)xyxy2121(,)xxyyPage15152(2,1),(3,4),,,34abababab例：已知求的坐标.(2,1)(3,4)(1,5)ab解：(2,1)(3,4)(5,3)ab343(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)ab(6,19)Page1616例3已知三个力1F(3,4),2F(2,5),3F(x,y)的合力1F+2F+3F=0求3F的坐标。解：由题设1F+2F+3F=0得：(3,4)+(2,5)+(x,y)=(0,0)即：054023yx∴15yx∴3F(5,1)Page1717(2,3),(3,5),ABBA例4、1已知求的坐标.(1,2),(2,1),ABAB2已知求的坐标.解：BA2,33,55,2.,解：设Bx,y1,2,2,1,ABxy1221xy即31xy.即B3,-1Page1818例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。4321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(-2,1)B(-1,3))C(3,4)D(x,y)Page1919,)Dxy解：设顶点的坐标为（)2,1()13),2(1(AB)4,3(yxDC123-,4)ABDCxy有得：（，）（yx4231），的坐标是（顶点22Dyx22OyxABCD例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.Page2020变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由得D1=(2,2)DCAB当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为DACB时，得D3=(6,0)D3106练习：世纪金榜第页的变式训练Page2121课堂总结:1.向量的坐标的概念:2.对向量坐标表示的理解:3.平面向量的坐标运算:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.1122(,),(,),axybxy(1)若则1212(,),abxxyy1212(,),abxxyy11(,)axy1122(,),(,),AxyBxy(2)若2121(,)ABxxyy(,)axiyjxy4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想