高中数学北师大版必修5配套课件：1-3-1 第1课时 《等比数列》

§3等比数列3.1等比数列第1课时等比数列1.知识目标：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系并能用有关知识解决相应的问题.2.能力目标：让学生对日常生活中的实际问题进行分析，引导学生通过观察，推导，归纳，抽象出等比数列的概念；由学生建立等比数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等比数列通项公式应用的实践操作.3.情感目标：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？猜一猜：把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”.1111124816，，，，，…如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：这就是我们今天所要研究的特殊数列——等比数列.下面我们再看几个例子，考察等比数列的共同特征.（1）你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸、捏合、再拉伸、捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条.这样捏合8次后可拉出多少根细面条？第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根，故有第2次捏合成根；第3次捏合成根；……第8次捏合成根.212222212822276思考：一位拉面高手能用一块面连续拉出10多万根面条，你知道他需要捏合，拉伸多少次吗？前8次捏合成的面条根数构成一个数列1,2,4,8,16,32,64,128.①对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都是2.（2）星火化工厂今年产值为a万元，计划在今后5年中每年比上年产值增长10％，试列出从今年起6年的产值（单位：万元）.第1年产值：a;第2年产值：a+a×10﹪=a(1+10﹪);第3年产值：a(1+10﹪)+a(1+10﹪)×10﹪=……第6年产值：；2%)101(a.%)101(%10%)101(%)101(544aaa故这6年的产值构成一个数列：2345110110110110110,(%),(%),(%),(%),(%).aaaaaa②对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都是1+10%.研究上述数列的特征及变化规律，可以发现什么？等比数列的概念可以看出数列①，②有如下的共同特征：从第2项起，每一项与前一项的比都是与项数n无关的常数.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.那么这个数列叫作等比数列，称这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).由此定义可知，对等比数列，有}{na321210.nnaaaqqaaa（）等比数列定义：因此，数列①的公比q=2；数列②的公比q=1+10%；思考1：当公比q=1时，{an}是什么数列？思考2：将有穷等比数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等比数列吗？如果是，公比是什么？如果不是，请说明理由.例1以下数列中，哪些是等比数列？；，，，，）（16181412111；，，）（11,1,12；）（20,16,12,8,4,2,13.,,,432naaaa）（解:（1）是等比数列，公比q=；21（2）是公比为1的等比数列；（3）因为所以该数列不是等比数列；，81248（4）当a≠0时，这个数列为公比为a的等比数列；当a=0时，它不是等比数列.等比数列的通项公式已经知道了一个数列是等比数列，并且知道它的第一项和公比q,怎样写出它的通项公式？1a设这个等比数列是,,,,,321naaaa由等比数列的定义可以知道：324n123n1aaaaq.aaaa从而，,)(,)(,3121342112312qaqqaqaaqaqqaqaaqaa由此可归纳出.11nnqaa在这个公式里，如果令n=1,那么.1011111aqaqaa由此可知，也可以用这个公式来表示，所以这个公式就是所要求的通项公式，这就是说：1a首项为，公比为q的等比数列的通项公式是1a11100(,).nnaaqaq例2一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值.解设等比数列的首项为，公比为q,则由已知，得1a,1222111qaqaa②①将①式代入②式，得.062qq解得q=-3或q=2.778q3a2q2(3)4374,当时，故数列的第8项是-4374或256..256222228778qaq时，当1.填空（１）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成_______个.（2）已知等比数列的通项公式，则首项为_______公比为_______.nna10412562510解：(1)方法1：由a4＝a1·q3得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1，∴a7＝a1·q6＝(－1)·(－3)6＝－729.2.在等比数列{an}中：(1)若a4＝27，q＝-3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1与q；(3)若a5-a1＝15，a4-a2＝6，求a3.(2)由已知得a1q＝18，a1q3＝8.得a1＝27，q＝23或a1＝－27，q＝－23.方法2：∵a7＝a1q6，a4＝a1q3，∴a7＝a4·q3＝27·(－3)3＝－729.(3)由已知得a1q4－a1＝15，①a1q3－a1q＝6.②由①②得q2＋1q＝52，∴q＝12或q＝2.当q＝12时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.1.等比数列的概念:从第2项起，每一项与它的前一项的比是同一常数.2.等比数列的通项公式an=a1qn-1（a1≠0，q≠0）知道其中三个字母变量，可用列方程的方法，求余下的一个变量.3.等比数列通项公式an的推导方法及简单应用.自己把自己说服了，是一种理智的胜利；自己把自己感动了，是一种心灵的升华；自己把自己征服了，是一种人生的成功。