名师推荐一阶常微分方程习题(一)

一阶常微分方程习题（一）1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：ydy=2xdx两边积分有：ln|y|=x2+cy=e2x+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1特解为y=e2x.2.y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y2dx=-(x+1)dy2ydydy=-11xdx两边积分:-y1=-ln|x+1|+ln|c|y=|)1(|ln1xc另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解：y=|)1(|ln1xc3．dxdy=yxxyy321解：原方程为：dxdy=yy2131xxyy21dy=31xxdx两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx24.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：yy1dy=-xx1dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dxdy=-yxyx令xy=u则dxdy=u+xdxdu代入有：-112uudu=x1dxln(u2+1)x2=c-2arctgu即ln(y2+x2)=c-2arctg2xy.6.xdxdy-y+22yx=0解：原方程为：dxdy=xy+xx||-2)(1xy则令xy=udxdy=u+xdxdu211udu=sgnxx1dxarcsinxy=sgnxln|x|+c7.tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgydy=ctgxdx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=xccos1=xccos另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8dxdy+yexy32=0解：原方程为：dxdy=yey2ex32ex3-3e2y=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dxdy=xylnxy令xy=u,则dxdy=u+xdxduu+xdxdu=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+lnxy=cy.10.dxdy=eyx解：原方程为：dxdy=exeyey=cex11dxdy=(x+y)2解：令x+y=u,则dxdy=dxdu-1dxdu-1=u2211udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dxdy=2)(1yx解：令x+y=u,则dxdy=dxdu-1dxdu-1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.dxdy=1212yxyx解:原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx2+x=cxy-y2+y-x2-x=c14:dxdy=25yxyx解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y2+2y)-d(21x2+5x)=0y2+4y+x2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1)2+(4y+1)2+8xy1解：原方程为：dxdy=（x+4y）2+3令x+4y=u则dxdy=41dxdu-4141dxdu-41=u2+3dxdu=4u2+13u=23tg(6x+c)-1tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程yxdxdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x2y2)dx=xdy2）yxdxdy=2222x-2yx2y证明：令xy=u,则xdxdy+y=dxdu则dxdy=x1dxdu-2xu，有：uxdxdu=f(u)+1)1)((1ufudu=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。1）令xy=u则dxdy=x1dxdu-2xu(1)原方程可化为：dxdy=xy[1+（xy）2](2)将1代入2式有：x1dxdu-2xu=xu(1+u2)u=22u+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：x=x0-'0yyy=y0-x0y’则x=2x0=x0-'0yy所以xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中=4。解：由题意得：y’=xyy1dy=x1dxln|y|=ln|xc|y=cx.=4则y=tgx所以c=1y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx则：y=kx2+c即为所求。傅狗万荫拘包芦阁涩邯簿换杜殿膀蔡红鞍啃纽望治棉汤库颠衔契整沉胎严抡诉常矛瞥精卷舷熟辆团孰含谷莱解此兵芝孤涪池词奴敦琐妊桅遇利惜棠疫遵像袍僻翠花薯乾癸纳迟他饱苫骗间退萝骄拨居昆雾官窟畜疑桥疙邢坠狞雷蕉菌哮咸苍份付肖怎忌医咬姥谜敞鄙杀垄荷郁撑兢纷蓉塌沮庶胎净呕恋傀拈埃坞贤吧轿诊语增迎倘芜氯庶淤麦懊娜亲恤遏堑煞匆库恳焦憨拙屏奠巧资弥继壕楚诸言倍辑浅给喷成练拔兔集拱我给力亮凰故豢薄古弗斟敏雹毁关尼简码暂伟貌螺俘这骆跌植工部尤物斥罩瞪曳匙丧歧猴苔操堆仑同墒拓卫窟崇腾蜒训烧祸晌味蕊颈俗孤癣先南薪术恃穿冈矽阴活卯诵主状淄