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高斯-德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（C.F.Gauss，1777年4月30日－1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并有“数学王子”的美誉。他独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”、素数定理、及算术-几何平均数。1795年高斯进入哥廷根大学，1796年得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。高斯在历史上影响巨大，有数学王子、数学家之王的美称、被认为是人类有史以来最伟大的四位数学家之一（阿基米德、牛顿、高斯、欧拉）。第十讲等差数列200年前，德国有位数学家叫高斯，他小时候就非常聪明。。一天，他的小学数学老师教完加法后，想要休息一下，便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+.....+97+98+99+100=?老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要出去时，看见高斯举起小手，问：“高斯，有什么事？”高斯说：“老师我做好了。”老师非常惊讶的说：“是吗？怎么可能呢。你的答案是多少？是怎样算出来的呢？”思考：高斯是怎么算出来的呢？我们先来看看当时的高斯是怎么回答的。高斯说：“老师，1加至100可以排两行，第一行顺着排，第二行倒过来排。”我们来看一下1+2+3+4+5+……+97+98+99+100100+99+98+97+96+……+4+3+2+1公式推导我们两排的第一个数相加是101，第二个相加还是101，第三个还是101，第四个还是101，最后一个还是101，也就是说两排相加共有100个101，也就是10100，那么一排相加的和是10100÷2=5050所以和=（1+100）×100÷2=5050动手算一算计算1+2+3+……+198+199的和。解析：原式=（1+199）×199÷2=200÷2×199=100×199=19900【注】：计算是基础，利用巧算方法更省力。认识等差数列如果一个数从第二项开始，每一项与前面的差都相等，这样的数列叫做。这个相等的差叫做等差数列的公差，数列中每一个数称为数列的项，并且根据他们所在的位置，第一个数叫做首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数称为末项。这个数列的个数称为项数例如数列1、3、5、7、9、11、132、4、6、8、105、8、11、14、17······你能根据自己的理解再写出几个等差数列吗，并指出它的首项、末项、项数、公差下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。①6，10，14，18，22，…，98；②1，2，1，2，3，4，5，6；③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接写到第21项方法二：过根据已知的数，列出算式（数出增加的公差）第二项比首项多1个公差，第三项比首项多2个公差，……，第21项比首项多20个公差，则第21项比首项多3×20=60，所以第21项是62列式：2+（21-1）×3=62思考：这个数列的第40项是多少？第n项=首项+（项数－1）×公差例2求等差数列3，7，11,15，…的第20项．解：第20项=首项+（项数－1）×公差=3+（20－1）×4=3+76=79通过观察发现这是一个公差为3的等差数列，首项为9，项数为8，公差为3，求末项第一天第二天第三天第四天······第八天9121518······？比第一天多比第一天多比第一天多比第一天多比第一天多1个32个33个34个37个39+（8-1）×3=9+21=30（个）首项项数公差末项=首项+（项数﹣1）×公差思考：第15天摘了多少松果项数=（末项-首项）÷公差+1方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接从4数到42方法二：分析这是一个等差数列，首项为4，末项为46，公差为6,46-4=42,42÷6=7，所以46比4多7个公差，多1个公差是第二项，多2个公差是第三项，……，多7个公差应该是第8项。列式：（46-4）÷6+1=8补充：64是这个数列的第几项？哇！又是等差数列第一次第二次第三次第四次第五次···第n次610141822···34比第一次多比第一次多比第一次多比第一次多比第一次多比第一次多一个42个43个44个4···7个4那么当取34个乒乓球的时候，比第一次多取了7个4（34﹣6）÷4=7，就是第8次取得（7+1=8次）综合算式得（34﹣6）÷4+1=28÷4+1=8（次）末项首项公差例题精讲例求数列3,5,7,9,11,13,15,17的和解：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）×8÷2=80计算下列各式的和1、2+4+6+……+20082、3+5+7+9+……+97