2012年高三数学二轮专题课件：三角函数与平面向量

专题2三角函数与平面向量知识网络构建专题2│知识网络构建考情分析预测专题2│考情分析预测1．三年高考回顾年份内容题号与分值2008三角函数性质向量运算三角函数综合三角函数实际应用第1题5分；第5题5分；第15题14分；第17题14分．专题2│考情分析预测年份内容题号与分值2009向量运算三角函数图象三角函数与向量综合第2题5分；第4题5分；第15题14分．2010三角函数图象正余弦定理与三角变换向量综合解三角形第10题5分；第13题5分；第15题14分；第17题14分.专题2│考情分析预测2.命题特点探究江苏近三年高考三角函数与平面向量的试题，一般是两到三个小题和一个大题；解答题一般都为基础题，处在送分题的位置；而在两个到三个小题中，08年和09年有一个较容易，而另一个为中档题，2010年15,17题出了两个有关三角函数和向量的解答题，且位置靠前，所以填空题的难度相对加大，但整体得分与往年相比没有大的变化．从近三年高考命题来看，平面向量的数量积，正余弦定理的运用，三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心)和三角函数式的恒等变形等仍是命题热点．专题2│考情分析预测3．命题趋势预测预计2011年高考本专题的命题方向是：①考小题，重在基础：有关三角函数的小题，其考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．有关平面向量的小题，其考查重点仍会是数量积及相关运算．②考大题，重在本质：有关三角函数和平面向量的大题即解答题，通过公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法．专题2│考情分析预测③考应用，融入三角形之中：这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来倍受命题者的青睐．主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解．④考综合，体现三角向量的工具和传接作用：由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处命题．因而对三角向量有时会综合在一起来考查．但与其他知识交汇的可能性不大．第3讲三角函数的图象与性质第３讲│三角函数的图象与性质主干知识整合第３讲│主干知识整合对于函数y＝Asin(ωx＋φ)要关注下面几个问题：①定义域：R.②值域：－A，A.当x＝2kπ＋π2－φω(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝2kπ－π2－φω(k∈Z)时，y取最小值－A.③周期性：周期函数，周期为2πω.第３讲│主干知识整合④单调性：单调递增区间是2kπ－π2－φω，2kπ＋π2－φω(k∈Z)；单调递减区间是2kπ＋π2－φω，2kπ＋3π2－φω(k∈Z)．⑤对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是kπ－φω，0，k∈Z，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝kπ＋π2－φω，其中k∈Z.第３讲│主干知识整合⑥函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．⑦对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距四分之一个周期．要点热点探究第３讲│要点热点探究例1若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，A0，|φ|π2的图象如图2－3－1所示，这个函数的解析式为________．图2－3－1►探究点一三角函数的图象变换与解析式第３讲│要点热点探究f(x)＝3sin2x＋π3【解析】由题意知：周期T＝25π6－π3＝π，∴ω＝2πT＝2.则f(x)＝Asin(2x＋φ)，则π3，0为五点作图中的第三点，所以2×π3＋φ＝π，即φ＝π3，则f(x)＝Asin2x＋π3，因为点0，32在原函数的图象上，故Asinπ3＝32，所以A＝3，综上知f(x)＝3sin2x＋π3.第３讲│要点热点探究【点评】“五点作图”中的第一点为函数在增区间上与x轴的交点，第二点为最大值对应的点，第三点为函数在减区间上与x轴的交点，第四点为最小值对应的点．第３讲│要点热点探究已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图2－3－2所示，fπ2＝－23，则f(0)＝________.图2－3－2第３讲│要点热点探究23【解析】由图象可得最小正周期为2π3，于是f(0)＝f2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，所以f2π3＝－fπ2＝23.第３讲│要点热点探究例2已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的图象如图2－3－3所示，直线x＝3π8，x＝7π8是其两条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；(2)若f(α)＝65，且π8α3π8，求fπ8＋α的值．图2－3－3►探究点二三角函数的图象与性质第３讲│要点热点探究【解答】(1)由题意，T2＝7π8－3π8＝π2，∴T＝π，又ω0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．由f3π8＝2sin3π4＋φ＝2，解得φ＝2kπ－π4(k∈Z)，又－π2φπ2，∴φ＝－π4，∴f(x)＝2sin2x－π4.由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)知，kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)．第３讲│要点热点探究(2)解法1：依题意得2sin2α－π4＝65，即sin2α－π4＝35，∵π8α3π8，∴02α－π4π2，∴cos2α－π4＝1－sin22α－π4＝1－352＝45，fπ8＋α＝2sin2α＋π8－π4＝2sin2α－π4＋π4，∵sin2α－π4＋π4＝sin2α－π4cosπ4＋cos2α－π4.sinπ4＝2235＋45＝7210，∴fπ8＋α＝725.第３讲│要点热点探究解法2：依题意得sin2α－π4＝35，得sin2α－cos2α＝325，①∵π8α3π8，∴02α－π4π2，∴cos2α－π4＝1－sin22α－π4＝1－352＝45，由cos2α－π4＝45，得sin2α＋cos2α＝425，②①＋②得2sin2α＝725，∴fπ8＋α＝2sin2α＝725.第３讲│要点热点探究解法3：由sin2α－π4＝35，得sin2α－cos2α＝325，两边平方得1－sin4α＝1825，sin4α＝725，∵π8α3π8，∴π24α3π2，∴cos4α＝－1－sin24α＝－2425，∴sin22α＝1－cos4α2＝4950，又π42α3π4，∴sin2α＝7210，∴fπ8＋α＝2sin2α＝725.第３讲│要点热点探究【点评】本题主要考查三角函数性质的基本知识，考查推理和运算能力是高考最常考的一种题型．江苏高考三角函数试题主要以两种形式出现：一是注重考查三角函数的定义、性质、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识；二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型函数图象为载体，全面考查三角函数的定义域、值域、单调性，奇偶性、对称性、图象变换等基础知识，即考查三角函数的图象性质和数形结合的思想方法．第３讲│规律技巧提炼1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)的确定A由最值确定；ω由周期确定；φ由图象上的特殊点确定，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．规律技巧提炼第３讲│规律技巧提炼2．三角函数图象平移问题处理策略①看平移要求：拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．②看移动方向：在学习中，移动的方向一般我们会记为“正向左，负向右”，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规则不是简单的看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确的理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋φ，这时才是“正向左，负向右”．③看移动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后移动的单位是|φω|.第３讲│规律技巧提炼3．周期，值域与奇偶性探讨三角函数的周期问题，一般将函数式化为y＝Af(ωx＋φ)(其中f(x)为三角函数，ω0)．求三角函数的值域(最值)的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的值域；③化为关于sinx(或cosx)的二次函数式．函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z，k≠0)；函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z，k≠0)；函数y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)．第３讲│规律技巧提炼4．关于复合角θ＝ωx＋φ的三角函数的单调区间问题对复合角θ＝ωx＋φ的正、余弦函数的单调区间的求解，关键是视ωx＋φ为单角θ，再应用y＝sinθ(或y＝cosθ)的单调区间，建立联立不等式，从而求得x的相应区间．江苏真题剖析第３讲│江苏真题剖析[2010·江苏卷]定义在区间0，π2上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．第３讲│江苏真题剖析【答案】23【解析】线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx＝5tanx，解得sinx＝23.线段P1P2的长为23.第３讲│江苏真题剖析【点评】本题一改平时学生常练的三角图象变换习题，试题面目有所创新，但仍考查的是三角函数的图象、数形结合思想．从近几年高考试题来看，正弦函数、余弦函数、正切函数、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是高考的重点内容，也是高考的必考内容之一．选择填空题和解答题的形式均能考查三角函数的图象、单调性、周期、值域、最值、对称性等，不论试题形式如何变化，难度会以低档题、中档题为主．