2011年高中数学优质课比赛课件：椭圆及其标准方程

1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象。奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长。8.1椭圆及其标准方程想一想圆是到定点距离等于定长的点的轨迹。定点叫圆的圆心，定长叫圆的半径。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两个焦点的距离叫做焦距。（一般用2c表示）我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。12FFMF1F22c注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定;（2）等于常数--轨迹上任意点到两定点距离和确定.同时要抓住图形的什么特征可以使得到的方程形式更简洁呢？圆的标准方程是怎样推导的？xyCoM（x，y）r4、化简rMC0),(yxf0),(yxf我们如何类比圆的方程来推导椭圆的方程呢？1、建立直角坐标系，设圆上任意一点坐标M(x,y)；2、点M满足的条件3、列出方程：又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a2c)（a是常数）则1)建立适当的直角坐标系OXYF1F2M(-c,0)(c,0)aMFMF221以过焦点的直线为X轴，线段的垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系。设M（x,y）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c.则F1(-c,0)，F2(c,0).221221)()(ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222化简得定义,令代入，得，)()(22222222caayaxcaca22022ca222222bayaxb222bca令代入(1)得两边同时除以a2b2定得义12222byax即为椭圆的标准方程。以过焦点的直线为X轴，以F1所在的直线为Y轴，建立直角坐标系。YMF2XO（F1）(2c,0)所得椭圆的方程为:1)(2222byacx注意：若坐标系的选取不同，可得到不同的椭圆的方程。如焦点在x轴上（如右图）的椭圆的标准方程是：22221(ab0)xyabOXYF1F2M(-c,0)(c,0)想一想如果焦点在y轴上（如右图），此时椭圆的方程是什么？OXF1F2M(0,-c)(0,c)Y222210yxabab上式也是椭圆的标准方程。1、焦点在x轴上：22221(ab0)xyab2、焦点在y轴上：222210yxababOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXF1F2M(0,-c)(0,c)Y•在与这两个标准方程中，都有的要求。12222byax12222bxay0ba注意：所谓椭圆的标准方程，•一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；例1.判断下列各式是否为椭圆的方程。如果是的话，说出a、b、c的值及其焦点所在的坐标轴。22(1)11211xy22(2)11212xy22(3)13649xy22(4)12025xy22(5)9436xy11,1222ba22(1)11211xy22(2)11212xy22(3)13649xy22(4)12025xy是焦点在X轴上。不是是36,4922ba焦点在Y轴上不是22(5)9436xy两边同时除以36,得是19422yx549,2,3cba焦点在Y轴上。11112222bac1,11,12cba133649222bac13,6,7cbax2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。那么，在椭圆的标准方程中，如何判断焦点在X轴上，还是在Y轴上？例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.1、a=3,b=1焦点在x轴上2219xy2、a=3,b=1焦点在y轴上2219yx3、a=3,b=12219xy当焦点在x轴上时2219yx当焦点在y轴上时例3.已知椭圆的两个焦点分别是（—2，0），（2，0），并且经过点，求它的标准方程。53()22，解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为。22221(0)xyabab又因为c=2,所以2221046bac所以，所求椭圆的标准方程为221106xy10a所以222253532(2)()(2)()2102222a由椭圆的定义知定义法1、本节课你学习了哪些知识？2、你掌握了什么？有哪些收获？OXYF1F2M(-c,0)(c,0)22221(0)xyabab22221(0)yxabab（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。椭圆的标准方程的再认识：OXF1F2M(0,-c)(0,c)Y第46页A（2）另解：设椭圆的标准方程为：22221(0)xyabab由题意知222222253()()221(1)4(2)ababc解得：2210,6ab因此，所求椭圆的标准方程为221106xy待定系数法