1.3.2 第1课时 利用导数研究函数的极值

1.3.2利用导数研究函数的极值第1课时利用导数研究函数的极值引入:在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.同样，各个谷底虽然不一定是群山的最低处，但它却是其附近的最低点.cdefoghijxyxfy在数学学习中，也有类似的情况.例如,函数的极值问题！1.理解函数极值的定义.（重点）2.理解函数的极值与导数的关系.(难点）3.会利用导数求函数的极值.(难点）问题1:观察函数y=f(x)在点x1、x3处的函数值f(x1)、f(x3)，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点?探究点1:函数的极值如图,函数y=f(x)的图象.解析:f(x1)f(x3)yxOabyf(x)x1x2x3x4f(x1)比x1“附近”各点处的函数值都大.f(x3)比x3“附近”各点处的函数值都大.解析:f(x2)f(x4)yxOabyf(x)x1x2x3x4问题2:观察函数y=f(x)在点x2、x4处的函数值f(x2)、f(x4)，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点?f(x2)比x2“附近”各点处的函数值都小.f(x4)比x4“附近”各点处的函数值都小.函数的极值000()ab()(),已知函数，设是定义域（，）内任一点,如果对附近的所有点，都有yfxxxxfxfx000()y=().().极大则称函数在点处取；记作并把称为函数的一个fxxfxxfx极大值极大值点00()(),如果在附近都有xfxfx0()则称函数在点处取；fxx极小值0=().极小记作yfx0().xfx并把称为函数的一个极小值点.极大值与极小值统称为.极大值点与极小值点统称为极值极值点解析：cdefoghijxyxfy1.图中有哪些极值点？2.函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？3.区间端点可能是极值点吗？【想一想】1.d、e、f、g、h、i.2.可以,不一定.3.不可能.探究点2:利用导数研究函数的极值如图,函数y=f(x)的图象.解析:f(x1)f(x3)yxOabyf(x)x1x2x3x4问题1:函数y=f(x)在极值点处的导数值有何特点？都等于0.f(x2)f(x4)解析:问题2:函数y=f(x)在极值点“附近”的导数值有何特点？极值点“附近”左侧和右侧的导数值异号.问题3:如果f′(x0)=0，则x0一定是函数y=f(x)的极值点吗？解析:不一定,xyoy=x33()fxx如2()3,(0)0,0.fxxf可知从而但不是极值点可导函数的极值与导数的关系函数极值点处的导数值；导数值等于0的点.一定等于0不一定是极值点例：已知函数（1）求函数的极值，并画出函数的大致图象；（2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值.31443fxxx2422fxxxx（1）0,2fxx令解得:解:当x变化时，的变化情况如下表：,fxfxxfxfx,22,2极大值极小值022,02从表上可以看出，当x=-2时,y=f(x)有极大值，且3128(2)-2-4-2+4=33f（）（）；而当x=2时,y=f(x)有极小值，且314(2)2-42+4=-33f；函数y=f(x)的图象如图331(2)(3)(3)4(3)47,311(4)44449.33ff与极值点的函数值比较，得到该函数在区间[-3，4]上的最大值是，最小值是19311.3求可导函数y=f(x)极值的一般步骤：(1)求函数的；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)=0的所有实根；(4)对每个实根进行检验，判断在每个根的左右侧，导数f′(x)的符号变化情况：如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是；如果f′(x)的符号不改变，则f(x0).定义域极大值极小值不是极值【变式练习】322110,fxxaxbxaxab已知函数在处有极值，求的值.2()32fxxaxb3,3ab经检验：当时，导数为零的点不一定是极值点!解:()110fxx因为在处有极值(1)0,(1)10,ff所以3,4,311.aabb解得或2()3(1)0,()fxxfx无极值4,11ab符合题意.1.(2012·陕西高考)设函数f（x）=2x+lnx，则（）A．x=12为f(x)的极大值点B．x=12为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点D323.()33(2)1.fxxaxaxa若既有极大值，又有极小值,则的取值范围是()()()().fxabfxab2.函数的定义域为开区间，，函数图象如图，则函数在开区间，内存在极小值点个yxOabyf(x)x1x2x3x412+（-，-）（，）24.已知函数在处取得极值，求函数的解析式322fxaxbxx2,1xxfx2,1fxxx因为在处取得极值，2322fxaxbx，124203220abab，所以，11,32ab解得3211232fxxxx所以(2)0,(1)0ff所以，解:11,32ab经检验，当时，满足题意.2.可导函数的极值与导数的关系：1.函数极值的定义.函数极值点处的导数一定等于0；导数等于0的点不一定是极值点.3.求可导函数y=f(x)极值的一般步骤：(1)求定义域；(2)求导；(3)求f′(x)=0的根；(4)列表检验，确定极值.卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不挠。——贝多芬