高数下册复习资料(同济第六版)

高等数学（一）教案期末总复习-2-第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作a或ABa(,,)xyzxyzaiajakaaa,,xxyyzzaprjaaprjaaprja模向量a的模记作aa222xyzaaa和差cabcab－cab,,xxyyzzababab单位向量0a，则aaeaae222(,,)xyzxyzaaaaaa方向余弦设a与,,xyz轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，coscosyxzaaaaaa，cos，coscosae(，cos，cos)222cos1+coscos点乘（数量积）cosbaba，为向量a与b的夹角zzyyxxbabababa叉乘（向量积）bacsinbac为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直zyxzyxbbbaaakjiba定理与公式垂直0abab0xxyyzzabababab平行//0abab//yzxxyzaaaabbbb交角余弦两向量夹角余弦babacos222222cosxxyyzzxyzxyzabababaaabbb投影向量a在非零向量b上的投影cos()babprjaaabb222xxyyzzbxyzabababprjabbb平面直线法向量{,,}nABC点),,(0000zyxM方向向量{,,}Tmnp点),,(0000zyxM方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0DCzByAx一般式0022221111DzCyBxADzCyBxA高等数学（一）教案期末总复习-3-点法式0)()()(000zzCyyBxxA点向式pzznyymxx000三点式1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz参数式ptzzntyymtxx000截距式1xyzabc两点式000101010xxyyzzxxyyzz面面垂直0212121CCBBAA线线垂直0212121ppnnmm面面平行212121CCBBAA线线平行212121ppnnmm线面垂直pCnBmA线面平行0CpBnAm点面距离),,(0000zyxM0DCzByAx面面距离10AxByCzD20AxByCzD222000CBADCzByAxd12222DDdABC面面夹角线线夹角线面夹角},,{1111CBAn},,{2222CBAn},,{1111pnms},,{2222pnms},,{pnms},,{CBAn222222212121212121||cosCBACBACCBBAA222222212121212121cospnmpnmppnnmm222222sinpnmCBACpBnAm空间曲线：()()()xtytzt，，，)(t切向量))(,)(,)((000tttT切“线”方程：)()()(000000tzztyytxx法平“面”方程：0))(()()()()(000000zztyytxxt()()yxzx切向量))(,)(,1(xxT切“线”方程：)()(100000xzzxyyxx法平“面”方程：0))(()()()(00000zzxyyxxx空间曲面：0),,(zyxF法向量000000000((,,),(,,),(,,))xyznFxyzFxyzFxyz切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xxxFxyzxxFxyzyyFxyzzz法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx),(yxfz0000((,),(,),1)xynfxyfxy切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx高等数学（一）教案期末总复习-4-或0000((,),(,),1)xynfxyfxy法“线“方程：1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：),(yxfz，图形：3、极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。8、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：u2）复合函数求导：链式法则偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234高等数学（一）教案期末总复习-5-若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则uxzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvyz3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）vy（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，①若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；②若02BAC，函数没有极值；③若02BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值令：),(),(),(yxyxfyxL———Lagrange函数解方程组0),(00yxLLyx2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx高等数学（一）教案期末总复习-6-法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分d,DyxfI平面薄片的质量质量=面密度面积（1）利用直角坐标系X—型Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Y—型dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(P141—例1、例3（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()xy,为实数)21()()(cos,sin)(cos,sin)Dfdddfd0202P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)DfxyxfxyfxyIfxydxdyfxyxfxyfxyDD对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性高等数学（一）教案期末总复习-7-三重积分dvzyxfI),,(空间立体物的质量质量=密度面积(1)利用直角坐标截面法投影法投影bayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),,(ddd),,(P159—例1P160—例2（2）利用柱面坐标cossinxryrzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()fxyfxz21()()(,,)ddd(cos,sin,)dbrarfxyzVzfzP161—例3（3）利用球面坐标cossincossinsinsincosxryrzrdvrdrdd2sin适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，222()fxyz222111(,)2(,)dd(sincos,sinsin,cos)sindIfP165—10-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案期末总复习-8-第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分LdsyxfI),(曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法（转化为定积分）（1）:()LyxdtttttfI)(')('))(),((22（2）():()()xtLtytdxxyxyxfIba)('1))(,(2（3）()()rr()cos:()sinxrLyrdrrrrfI)(')()sin)(,cos)((22P189-例1P190－3平面第二类曲线积分LQdyPdxI变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）():()()xtLtyt单调地从到ttttQtttPyQxPLd)}()](),([)()](),([{ddP196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL)(应用：助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①yPxQ②0LQdyPdx③LQdyPdx与路径无关，与起点、终点有关④QdyPdx具有原函数),(yxu（