周期信号的分解与合成

第3章连续信号与系统的频域分析本章重点和要点•利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱•利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱•理解信号的时域与频域间的关系•掌握傅里叶变换定义、性质、应用•掌握系统的频域分析方法•掌握取样定理及其应用•理解频谱分析在通信系统中的应用引言•回顾时域分析中利用卷积对信号进行分解继而求出响应的思路j信号的分解求响应再迭加时域分析:tje卷积积分频域分析:)(t傅立叶变换复频域分析:ste拉普拉斯变换自变量为S=+自变量为自变量为tj结论•LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。3.1信号的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量图3.1-1两个矢量正交oV2V190°2.矢量的分解图3.1-3平面矢量的分解oVc2V2c1V1V1V221图3.1-4三维空间矢量的分解332211VcVcVcVoVc3V3c1V1V1V3V2c2V2上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合，即nnrrVcVcVcVcV2211式中，Vi·Vj=0(i≠j)第r个分量的系数rrrrVVVVc3.1.2信号的正交分解1.正交函数设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为dttfEtfctftftteee2122121)()()()(2.信号的正交展开设有一函数集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有ijttiKdttgtg0)()(*21则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果10)()(*21dttgtgjtti则称该函数集为归一化正交函数集。用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即NiiiNNrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(这种近似表示所产生的平方误差为dttgctfEttNiiie2121)()(定理3.1-1设｛gi(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合，即iiitgctf)()(),(21tt式中，ci为加权系数，且有21212*)()()(ttittiidttgdttgtfc式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。(3.1-14)(3.1-15)定理3.1-2在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有dttgcdttfttittii212122)()(式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒。定理3.1-2有时也称为帕塞瓦尔定理。(3.1-16)3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.2.1三角形式的傅里叶级数三角函数集｛cosnΩt,sinnΩt|n=0,1,2,…｝是一个正交函数集，正交区间为(t0,t0+T)。这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt，sinnΩt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：上述正交三角函数集中，当n=0时，cos0°=1,sin0°=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为,2sin,sin,,2cos,cos,1tttttnbtbtbtnatataatfnnsin2sinsincos2coscos2)(21210式中，Ω=2π/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。式(3.2-5)就是周期信号f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-∞,∞)区间也是成立的。可得加权系数：狄利赫利条件：•.在一个周期内只有有限个间断点；•.在一个周期内有有限个极值点；•.在一个周期内函数绝对可积，即•一般周期信号都满足这些条件.00()tTtftdt3.2周期信号的分解与合成•3.2.1周期信号的三角级数表示{cosn1t,……sinn1t}•3.2.2周期信号的复指数表示{ejn1t}3.1周期信号的分解与合成•将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义1.从信号分析的角度将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。2.从系统分析角度已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应；而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。傅里叶生平•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”•1829年狄里赫利第一个给出收敛条件•拉格朗日反对发表•1822年首次发表在“热的分析理论”一书中傅立叶的两个最主要的贡献•“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点3.2.1周期信号的三角级数表示•任何正常的周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。tbtbtbtatataatf13121113121103sin2sinsin3cos2coscos)(T21)sincos(1110tnbtnaannn直流分量基波分量n=1谐波分量n1基波角频率3.2.1周期信号的三角级数表示•傅立叶系数TttdttfTa00)(10TttntdtntfTa001cos)(2tdtntfTbTttn001sin)(2直流系数余弦分量系数正弦分量系数可取t0=0，t0=－T/23.2.1周期信号的三角级数表示•周期信号的另一种三角级数表示)cos()(110nnntnAAtf)sin(.CC)(110nnntntf或：)cos(sincos111nnnntnAtnbtna3.2.1周期信号的三角级数表示•几个系数的关系cossinnnnnnaAC000CAannnnCbaA22nnnbaarctannnnabarctansincosnnnnnbAC3.2.1周期信号的三角级数表示•几种系数的特点nnnnAAnnnnbbaa是n的偶函数是n的奇函数是n的偶函数是n的奇函数3.2.1周期信号的三角级数表示•f(t)为偶函数时的傅立叶级数22)(10TTdttfTa221cos)(2TTtdtntfTantdtntfTbTTn221sin)(2取t0=－T/2•f(t)=f(－t)，20)(2TdttfT201cos)(4TtdtntfT0偶函数的傅立叶级数只有直流分量和余弦分量，无正弦分量。3.2.1周期信号的三角级数表示•f(t)为奇函数时的傅立叶级数22)(10TTdttfTa221cos)(2TTtdtntfTantdtntfTbTTn221sin)(2取t0=－T/2•f(t)=－f(－t)，201sin)(4TtdtntfT0奇函数的傅立叶级数只有正弦分量，无直流分量和余弦分量。03.2.1周期信号的三角级数表示•f(t)为奇谐函数时的傅立叶级数)2()(Ttftff(t)沿时间轴平移半个周期，并关于时间轴对称，此时波形不变，这样的f(t)称为半波函数或奇谐函数。00nnbaa当n为偶数时：奇谐函数的傅立叶级数中只含有基波和奇次谐波的正、余弦分量，无偶次谐波分量。3.2.1周期信号的三角级数表示•f(t)为偶谐函数时的傅立叶级数)2()(Ttftff(t)沿时间轴平移半个周期，此时波形不变，这样的f(t)称为半波函数或奇谐函数。0nnba当n为奇数时：偶谐函数的傅立叶级数中只含有偶次谐波的正、余弦分量，无基波和奇次谐波分量。3.2.1周期信号的三角级数表示•P94/例3.2－1：求周期矩形波的傅里叶级数展开式。02nb0na200sin4TtdtnAT4Ann为奇数：220sin)(2TTtdtntfTbn2011]cos[4TntnTA00a)5,3,1(n)5sin513sin31(sin4)(111tttAtf3.2.2指数形式的傅里叶级数TdteetjmTtttjn0)()(00nmnm式中，T=2π/Ω为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数f(t)可在区间(t0,t0+T)内用此函数集表示为ntjnntjtjtjtjeFeFeFeFeFFtf2212210)(式中，相关系数FntjtjtjtjtjnnneFeFFeFeFeFtf111112210122)(3.2.2周期信号的复指数表示•由3.2.1知：由欧拉公式：11()()01()[]2nnjntjntnnAftAeenjnnAeAFn2121000aAF则：)cos()(110nnntnAAtf2cosjxjxeexjeexjxjx2sin令：引入了负频率njnneAA3.2.3两种展开式的系数间的关系•由于nnnnjAAsincosnjnneAA所以：nnjba222211sin)(2cos)(2TTTTtdtntfTjtdtntfTAn22]sin)[cos(211TTdttnjtntfT221)(2TTdtetfTtjnnnAF21221)(1TTdtetfTFtjnn3.1.3两种展开式的系数间的关系•复系数还可表示为：0000CaAFnjnneFF)(21nnjba)(21nnjbanjnneFFnn22212121nnnnnnbaCAFFnnFA2nnAF213.2.3两种展开式的系数间的关系•类P94/例3.2－1：求周期矩形波的复指数展开式。221)(1TTdtetfTFtjnn101241dtetjn101142tjnenj)1(2121njenj)22(1T)(1444nnnjjjeeejn)sin(244njnen3.2.3两种展开式的系数间的关系)sin(244njnnenFtjnnnjeenn14)]sin(2[4tjnnneFtf1)(则：