深洞的估算1

黄石理工学院数学建模考试论文作业名称：深洞的估算班级：07级信息与计算科学（1）班姓名：翟江200741210137学号：黄方勇200741210110夏云龙200741210129指导教师：许小芳时间:2009.12.25—2009.12.312009—2010学年第1学期1深洞的估算——翟江，黄方勇，夏云龙摘要假如你站在洞口且身上仅带有一个具有跑表功能的计算器，你出于好奇心向用扔一块石头听回声的方法来估计洞深，既定你见到一个质量m=1kg的石块，并精确的测定出回声时间为t=5s,就下面的情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，及洞深。要求洞深，我们就要知道石块下落时间，要知道石块下落的时间我们就要研究石块下落过程中速度随时间变化的规律。为此，我们在Newton力学体系的基础上建立对象的动态模型，然后按照题给条件空气阻力与石块下落速度的关系和比例系数，建立相应的微分方程，利用MatLab和C语言编程，最终求出不同情况下，深洞的相应深度。关键词：微分方程MatLabc++2一、问题的提出,分析假如你站在洞口且身上仅带有一个具有跑表功能的计算器，你出于好奇心向用扔一块石头听回声的方法来估计洞深，既定你见到一个质量m=1kg的石块，并精确的测定出回声时间为t=5s,就下面的情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，及洞深。1如果不计空气阻力2如果受空气阻力，并假设空气阻力与石块下落速度成正比比例系数k1=0.053如果受空气阻力，并假设空气阻力与石块下落速度的平房成正比k2=0.00254在上述三种情况下，如果考虑回声传回来的所需时间上文中提出的问题，实质上是要研究物体下落的速度随时间变化的规律，此类问题我们可以在牛顿力学体系的基础上利用微分方程模型建立模型求解。二、符号假设T:回声时间g:重力加速度m：石块质量v：石块速度k1：空气阻力与石块下落速度的比例系数：k1/mh:深洞的深度:声音在空气中传播的速度（常温常压下）3三、模型的建立与求解解1：由伽利略的落体定律，不考虑回声传回的时间和空气阻力，易知：212hgT可以求得：h=122.5m解2：如果石块下落时受到空气阻力，且空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.005由Fma，选向下为正,建立微分方程如下：1111,kdvdvmgkvmkvgkdtdtm1111111ln()()kdvdvgkvkdtdgkvdktCdtgkv111ln()gkvktC，初始条件：0()0tvt111ln(1)ktgCgvek111222001111110(1)()TtTktktkTgggggghvdtedtTeTekkkkkk代入数据可求得:h=133.38m解3：如果受空气阻力，并假设空气阻力与石块下落速度的平房成正比k2=0.0025建立微分方程如下：由Fma，选向下为正。222222,kdvdvmgkvmkvgkdtdtm4212222222221[ln]()2kdvkvgdvgkvkdtddktCdtgkvgkvg22221ln2kvgktCgkvg，初始条件：0()0tvt，20C令:A=√B=2√；2222221(1)1(1)BtBtBtgktggAevAAkeeke可得：h=∫=A∫dt=A∫dt=(At+2Bln)｜=AT+2Bln代入数据得:h=312.90m解4：(1)在第一种情况下考虑回声传回的时间521212122()aaahgthhhvtTvhgvttT代表声速，由方程解出代入数据利用c++编程求解得：h=.107.498m（2）、在第二种情况下考虑回声传回时间，列得方程组如下：11122111111221212()(),()()ktaggghtekkkhfthvthgtfgfhghTttTttT物理意义保证函数的单调性，则代入数据求解：h=121.67m（3）、在第二种情况下考虑回声传回时间，列得方程组如下：{,A=√B=2√h=396.25m四、模型的评价与推广本文对于提出的深洞探测问题采用微分方程建立了石子下落的动态模型，根据不同情况建立了不同模型，并用c++，MATLAB求出了方程的结果，比较好的达到了题目的要求。6五、参考文献【1】：姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》第三版，高等教育出版社，~附录：在vs2008中输入解方程的程序代码：#includeiostream#includecmathusingnamespacestd;intmain(){doubleq(double,double,double);doublea,b,c,x1,x2,p;coutpleaseentera,b,c:;cinabc;p=-b/(2*a);try{x1=p+q(a,b,c);x2=p-q(a,b,c);coutx1=x1endlx2=x2endl;}catch(doubled){couta=a,b=b,c=c,disc=d,error!endl;}coutendendl;return0;}doubleq(doublea,doubleb,doublec){doubledisc;disc=b*b-4*a*c;if(disc0)throwdisc;returnsqrt(disc)/(2*a);}