数值计算基础复习指导

《数值计算基础》课程复习指导第1章绪论1、有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限的概念；2、有效数字与绝对误差，有效数字与相对误差的关系；3、如何判断有效数字，如何估算绝对误差限与相对误差限。第2章解线性方程组的直接法1、直接法解线性方程组的思想，如何使用高斯消去法、列选主元消去法、全选主元消去法；2、直接三角分解法解线性方程组的思想，矩阵的LU分解的条件，如何对矩阵进行LU分解。如何使用直接三角分解法、平方根法和追赶法法解线性方程组。第3章代数插值法与最小二乘法1、插值的基本概念，插值问题的存在且唯一性；2、如何使用待定系数法、拉格郎日插值法、牛顿插值法构造插值多项式及确定余项；3、)(),(xxli的性质及应用；4、差商的定义、性质及应用；5、如何使用分段线性插值及确定余项；5、如何使用待定系数法构造埃尔米特插值多项式及确定余项；6、如何使用曲线拟合的最小二乘法进行线性拟合。第4章数值积分与数值微分1、机械求积与代数精度的概念，如何判定一个求积公式的代数精度；2、如何通过代数精度法与插值法构造求积公式；3、牛顿-柯特斯公式的定义及构造的方法，牛顿-柯特斯系数的性质；如何使用梯形公式、辛卜生公式、柯特斯公式计算定积分及确定余项；4、复化求积法；如何使用复化梯形公式、复化辛卜生公式、复化柯特斯公式计算定积分及余项；5、变步长求积法的思想，如何使用变步长梯形求积法和龙贝格求积法计算定积分；6、高斯求积公式的定义及构造方法；7、数值微分的数值方法，如何使用二点公式、三点公式计算微分。第5章常微分方程数值解1、常微分方程数值解法的基本思想，欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉方法公式的构造方法；2、如何使用欧拉方法、后退欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法计算常微分方程；3、局部截断误差与方法精度的定义，如何判断一个方法是几阶方法。第6章逐次逼近法1、向量范数与矩阵范数的基本概念，常用的向量范数与矩阵范数，矩阵谱半径的基本概念。2、如何使用简单迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，如何判断迭代法的收敛性。3、如何使用简单迭代法、牛顿迭代法解非线性方程。如何判断迭代格式的收敛阶。《数值计算基础》考试样卷（一）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1、数值x的近似值x*=0.1215×10－2，若满足xx()，则称x有4位有效数字.(A)21×10－3(B)21×10－4(C)21×10－5(D)21×10－62、若kA为矩阵A的k阶主子矩阵，则矩阵A满足（）时，则存在唯一单位下三角阵L和上三角阵R，使LRA。(A)0A(B)某个0kA(C))1,1(0nkAk(D)),,1(0nkAk3、通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足(),则P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值y0=0(B)所有一阶均差为0(C)所有二阶均差为0(D)所有三阶均差为04、牛顿切线法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0满足()，则解的迭代数列一定收敛。(A))()(00xfxf0(B))()(xfxf0(C))()(xfxf0(D))()(xfxf05、改进欧拉法的平均形式公式是()(A))(21),(),(1cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy(B))(),(),(cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy(C))(),(),(cpkpkkckkkpyyhyyxhfyyyxhfyy(D))(),(),(cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy二、填空题（每小题3分，共15分）1、sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是.2、设f(x)可导，求方程x=f(x)根的牛顿迭代格式是.3、设42)(2xxf，则]2,1[f.4、在区间,ab上的插值型求积公式系数01,,AA┅,nA满足01AA┅＋nA＝.5、二阶龙格－库塔法的局部截断误差是.三、解答题（每小题10分，共50分）1、用列主元消去法解线性方程组123240531192203xxx2、用牛顿法求6的近似值，取初始值20x，进行二次迭代。3、已知有y=f(x)的函数表如下x123y137求其代数插值多项式并给出其余项。4、给出数值积分公式：)31()()(hBfhAfdxxfhh确定A、B使得该数值积分公式的代数精度尽可能的高，并确定其代数精度为多少？5、用欧拉法解初值问题，要求保留4位有效数字。1)0()5.0,10('yhxyxy四、综合题（每小题10分，共20分）1、试利用数值积分的方法推导求解初值问题的梯形公式为)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy，并证明该方法是二阶方法。2、设l0(x)是以n+1个互异点x0,x1,x2,…,xn为节点的拉格朗日插值基函数))...()(())...()(()(nnxxxxxxxxxxxxxl试利用牛顿插值法证明：))...()(())...()((...))(())(()()(1)(02010110201010100nn0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl《数值计算基础》考试样卷（一）参考答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1、D2、D3、C4、B5、D二、填空题（每小题3分，共15分）1、00625.010161108211122、)(1)(1kkkkkxfxfxxx3、64、b-a5、O(h3)三、解答题（每小题10分，共50分）1、解：212131322()3234724053119311924052203220331193119142142010133338225909003377rrrrrrrr8分回代得3215911,4,22xxx2分2、解：)6(21)6(21)()()(,2)(6)(1''2nnnxxxxxfxfxxxxfxxf，，7分450.22049)51225(21500.225)262(212210xxx3分3、解法一：待定系数法设22102)(xaxaaxP，则（3分）1117933421210210210210aaaaaaaaaaaa（3分）即1)(22xxxP（1分）法二：Lagrange插值法)1(1)3(7)23)(13()2)(1(3)32)(12()3)(1(1)31)(21()3)(2()3()()(2202分分分xxxxxxxxxlyxPiii法三：Newton插值法xiyi一阶差商二阶差商112323741（3分）1)2)(1()1(21))(](,,[)](,[)()(21021001002xxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxN（4分）余项为)3)(2)(1(6)()(2xxxfxR（3分）4、解：令xxf,1)(时，该公式精确成立，则2分hBhABAhBA232103124分即)31(23)(21)(hhfhhfdxxfhh1分令2)(xxf左=3232hdxxhh，右=32232)31(23)(21hhhhh左1分令3)(xxf左=03hhdxx，右=43394)31(23)(21hhhhh左1分即公式的代数精度为2次1分5、解：使用欧拉法计算公式为nnnnnnnnnnnxyhxyhyxhyyxhfyy5.05.1)1()(),(16分500.105.015.15.05.1001xyy2分500.25.05.05000.15.15.05.1112xyy2分四、综合题（每小题10分，共20分）1、解：)],(),([2))](,())(,([2)(,()()(1111111nnnnnnnnnnxxnnyxfyxfhyyxyxfxyxfhdxxyxfxyxynn4分阶次的证明：即证)()(311hOyxynn)(2)()()()(321hOhxyhxyxyxynnnn(1)2分)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy令)(nnxyy，右边的)(11nnxyy)(2)()()()](1)()()([2)())](,())(,([2)(322111hOhxyhxyxyhOhxyxyxyhxyxyxfxyxfhxyynnnnnnnnnnnnn(2)2分(1)－(2),得)()(311hOyxynn2分2、证明：显然0)(),...(,0)(,1)(0201000nxlxlxlxl2分)())((1)()()()(],,[0201000000100kkiiikxxxxxxxxlxxlxxxl2分则l0(x)的牛顿插值多项为：))...()(())...()((...))(())(()()(1)(0201011020101010nn0nxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxN2分又因为0)()1(0xln，故有0))...()(()!1()()()(10)1(00xxxxxxnlxNxlnn2分所以有))...()(())...()((...))(())(()()(1)()(02010110201010100nn0nxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxNxl2分《数值计算基础》考试样卷（二）1、(20分)已知线性方程组如下2053182521432321321321xxxxxxxxx1）用高斯列选主元消去法解该线性方程组（5分）2）用三角分解法解该线性方程组，写出对系数矩阵A=LU做Doolittle分解的结果。（5分）3）用简单迭代法解该线性方程组，写出其迭代格式。取)0,0,0()0(x，计算)1(x（5分）4）列举除上面之外的其他你所学到的解线性方程组的方法。在所有的这些方法中，你最喜欢什么方法，为什么？（5分）2、(25分)已知有y=f(x)的函数表如下x012y2641）分别用下面三种方法求其插值多项式①待定系数法（5分）②拉格朗日插值法（5分）③牛顿插值法（5分）2）写出插值余项（2分）3）若f(x)是一个二次多项式函数，求证所求插值多项式就是f(x)（3分）4）利用数值微分三点公式计算)1(f的近似值。（5分）3、(20分)求定积分近似值的Newton-Cotes公式形式如下：niinibaxfCabdxxf0)()()()(1）Newton-Cotes公式至少有n次代数精度，而当n为偶数时则至少有n+1次的代数精度。写出n=2时的Newton-Cotes公式(Simpson公式），并证明该公式代数精度为3次。（5分）2）证明Newton-Cotes系数满足10)(niniC。（5分）3）用Simpson公式计算xxxd的近似值。（5分）4）使用龙贝格算法计算