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三年级 春季 第一讲 等差数列基础 三年级春季（六级下）1·1第一讲：等差数列基础一、等差数列的相关概念1、判断等差数列⑴数列同向变化（越来越大，或越来越小）⑵每相邻两项之间的差都相等2、基本概念项：通项、首项、中项、末项项数（n）：就是等差数列一共有多少个数公差（d）：相邻两数之间的差二、基本公式1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项第n项=首项+公差×（n-1）an=a1+d(n-1)辅助记忆：小白兔跳远：第n个脚印也是从第一个脚印一步一步跳过去的。问第7个脚印，那是从第1个脚印开始，连跳了6步到达的。所以a7=a1+d（7-1）=2+3×6=202、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数项数=（末项-首项）÷公差+1n=（an-a1）÷d+1辅助记忆：五指法（指头是项，空是公差，项数比公差个数多1）小兔子一共跳了多少米？23-2=21（米）小兔子一共跳了多少步？21÷3=7（步）脚印比步数多1:7+1=8（个）综合算式：n=（23-2）÷3+1=83、求和公式（1）高斯公式：什么时候用？——任何一个等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷22 5 8 11 23 …一共有几个脚印呢？2 5 8 11 ？ 三年级 春季 第一讲 等差数列基础 三年级春季（六级下）1·2（2）中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和和=中项×项数注：中项就是该数列的平均数注意：（1）对于项数为奇数的等差数列，很好用如：2+4+6+8+10+12+14=8×7=56（2）对于项数为偶数的等差数列，可以假设出一个中间数如：2+4+6+8+10+12+14+16=9×8=72假设出中间数是（8+10）÷2=9（3）要熟悉运用逆向思维：已知等差数列的和，就能很方便求出中项（或假设的中项）如：一个等差数列共有5个数，和是100。那么中项就是100÷5=20拓展：等差数列中任意两项的差第n项-第m项=公差×（n-m）家庭作业2对于数列4，7，10，13，16，19……第100项与第50项的差是多少？解析：可以分别把第100项与第50项求出来，然后再求差，比较麻烦。回忆小兔子跳远的例子，第50个脚印与第100个脚印之间相距的不就是（100-50）步吗？所以这两项的差就是3×（100-50）=150三、讲义例题讲解1、运用公式进行计算（尖子）学案1已知数列2,4,6,8，……，这个数列中的第2000个数是多少？解析：方法一：问等差数列的某一项，用通项公式，其中首项是2，公差是2：a2000=2+2×（2000-1）=4000方法二：这是偶数列，第2000个数就是2×2000=4000 （提高）学案2 数列4，7，10……295，298一共有多少个数？ 解析：等差数列问项数，直接用项数公式，其中公差是3，n=（298-4）÷3+1=99（个） 例1 1+2+3+4+……+1992+1993 解析：原式就是一个等差数列求和，可以直接用高斯求和公式。 原式=（1+1993）×1993÷2 =1994×1993÷2 =997×1993 =1987021 例2 求所有的三位数中3的倍数的和 解析：这是一道求和的题，但是哪些数求和呢？首先必须把这些数找到。三位数中3的倍数最小的一个是102，其次是105,108……最大的一个是999。所以，应该是 102+105+108+……+996+999 这是一个公差是3的等差数列，求和可以用高斯公式，但是项数不知道怎么办？可用项数公三年级 春季 第一讲 等差数列基础 三年级春季（六级下）1·3式：项数=（999‐102）÷3+1=300 ……当然此题也可用别的方法求项数，但同学们一定要把项数公式记牢，用熟和=（102+999）×300÷2=1101×300÷2=330300÷2=165150小结：3的倍数/能被3整除的数是公差为3的等差数列同学们想一想，5的倍数呢？6的倍数呢？（尖子）学案2计算（2+4+6+8+……+100）-（1+2+3+4+……+50）解析：两个括号中都是等差数列求和，我们可以分别求和后再求差，但较为麻烦。还有办法吗？前一个括号中的每个数都是后面对应数的2倍，我们可以配对减，得到原式=1+2+3+4+……+50=（1+50）×50÷2=1275例3计算1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70的和是多少？解析：本数列不是等差数列，但通过观察规律我们就能找到解决的办法方法一：如果补入2,5,8,11……，68，它就是一个自然数列啦所以原式=（1+2+3+4+5+……+68+69+70）-（2+5+8+11+……+68）=2485-805=1680方法二：我们以前学过，当一个数列的规律不明显时，可以试着隔着看，本数列隔着看，发现是两个等差数列。所以原式=（1+4+7+10+……+70）+（3+6+9+……+69）=1680方法三：我们把连续的两个自然数先试着加起来，发现是一个公差是6的等差数列原式=1+7+13+19+25+……+133+139项数=（139-1）÷6+1=24=（1+139）×24÷2=1680 2、规律型问题 例4 如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色，如果最底层有15个正方形，问一共有多少个白色的正方形？多少个黑色的正方形？ 解析：计算图形的个数，关键要找到图形的规律。我们发现，每层的白色都比黑色多一个，那么最底层15个正方形一定是白色8个，黑色7个。各层表示如下白色黑色第一层10第二层21第三层32………第八层87所以，白色正方形共有1+2+3+……+8=36（个）黑色正方形共有1+2+3+……+7=28（个）3、与数列有关的应用题三年级 春季 第一讲 等差数列基础 三年级春季（六级下）1·4例5有五个滑轮的直径成等差数列，已知最小的与最大的滑轮直径分别是120毫米和216毫米，求中间的三个滑轮的直径。解析：对于枯燥抽象的题，同学们可以用画图形象地把条件表示出来。本题画图如下： 等差数列知道其中的两项，我们可以找到它俩之间的总差：216‐120=96（毫米） 这个总差一共分为了4段，每段即公差为96÷4=24（毫米） 所以第二个滑轮直径：120+24=144（毫米） 第三个：144+24=168（毫米） 第四个：168+24=192（毫米） （尖子）学案3 在5到40之间插入6个数后，使之成为等差数列，插入的6个数是多少？ 解析：同样，画出图分析 5 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 40 总差：40‐5=35 公差：35÷（6+1）=5 可算出，这6个数分别是10,15,20,25,30,35 例6 节日期间在一个八层楼上安装彩灯，共安装888盏，已知从第二层开始，每一层都比下一层少装6盏，那么最上面一层安装多少盏灯？ 解析：易知每层的彩灯数组成一个公差是6的等差数列，且最上层的彩灯数最少。我们还是可以利用图形把数列表示出来-6-6-6-6-6-6-6○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 最下层 最上层 888知道这8个数组成了递减的等差数列，和是888，很容易能算出平均数 888÷8=111（盏） 平均数就是中项，8项的等差数列，想想中项在什么位置呢？就在第4、第5项正中间！ 第5项（与中项相差半个公差）：111‐3=108（盏） 第8项（与第5项相差3个公差）：108‐3×6=90（盏） 小结：只要知道等差数列的总和与项数，我们就先用除法求中项，这是很好用的一招。 （提高）学案4 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？ 解析：本题画图如下： d d d d 120 216 三年级 春季 第一讲 等差数列基础 三年级春季（六级下）1·5 知道这7个数组成了递增的等差数列，和是210，先算出中项 中项（第4项）：210÷7=30 第1项（与第4项相差3个公差）：30‐3×5=15 第6项（与第4项相差2个公差）：30+2×5=40 （尖子）学案4 某电影院一共有28排座位，后一排比前一排多一个座位，最后一排有60个座位，这个电影院一共有多少座位？ 解析：根据题意，知道这是一个等差数列，公差是1，项数是28。只是以前都是知道首项，求其他项，现在知道末项，怎么求首项呢？从前到后是不断地加公差，从后到前不就是不断地减公差嘛。只是注意，第28项与第1项中间相差的是（28‐1）个公差，那么首项为 a1=60‐1×（28‐1）=33（个） 共有座位：（33+60）×28÷2=1302（个） +5 +5 +5 +5 +5 +5 210 30