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第1页（共20页）2019年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．（3分）设复数z＝（5+i）（1﹣i）（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．4iB．4C．﹣4iD．﹣42．（3分）已知集合，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．4B．3C．2D．13．（3分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．3D．4．（3分）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝（）A．12B．16C．24D．325．（3分）若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．B．2C．2πD．4π6．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝﹣2x+y的最大值是（）A．1B．4C．6D．77．（3分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是周期函数第2页（共20页）B．f（x）奇函数C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）在处取得最大值8．（3分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．4B．13C．40D．419．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a（2sinB﹣cosC）＝ccosA，点D是边BC的中点，且AD＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．或2D．或10．（3分）已知抛物线C：y2＝6x，直线l过点P（2，2），且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．11．（3分）函数f（x）＝xsin2x+cosx的大致图象有可能是（）A．第3页（共20页）B．C．D．12．（3分）已知x＞0，函数f（x）＝的最小值为6，则a＝（）A．﹣2B．﹣1或7C．1或﹣7D．2二、填空题13．（3分）已知向量，不共线，，，如果，则k＝．14．（3分）已知函数f（x）满足，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．15．（3分）已知sin10°+mcos10°＝﹣2cos40°，则m＝．16．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．第4页（共20页）三、解答题17．已知数列{an}为等差数列，a7﹣a2＝10，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝，求n的值．18．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数yi（单位：人）与时间ti（单位：年）的数据，列表如下：ti12345yi2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）建立y关于t的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．（参考公式：，）19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD．AB＝2AD第5页（共20页）＝4，．（1）证明：平面D1BC⊥平面D1BD；（2）若直线D1B与底面ABCD所成角为，M，N，Q分别为BD，CD，D1D的中点，求三棱锥C﹣MNQ的体积．20．顺次连接椭圆C：（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOA•kOB＝﹣1，其中O为坐标原点，求|AB|．21．已知函数．（1）设x＝2是函数f（x）的极值点，求m的值，并求f（x）的单调区间；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ＝（ρ∈R）．（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为y＝﹣x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＜8；第6页（共20页）（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2﹣8a的解集不是空集，求a的取值范围．第7页（共20页）2019年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵z＝（5+i）（1﹣i）＝6﹣4i，∴z的虚部是﹣4．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．【解答】解：，B＝{﹣1，0，1，2，3}；∴A∩B＝{﹣1，0，1}；∴A∩B中元素的个数为：3．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝，即b＝a，即有双曲线的e＝＝＝＝2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．【解答】解：由分层抽样的性质得：，解得n＝24．故选：C．【点评】本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，第8页（共20页）由题意知，r＝h＝l，则轴截面的面积为•＝1，解得r＝1，所以l＝；所以该圆锥的侧面积为S圆锥侧＝πrl＝π．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z表示，斜率为2纵截距为Z的一组平行直线平移直线y＝2x+z，当直线y＝2x+z经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z最大，由解得A（﹣2，3）此时﹣2x+y＝7，即此时z＝7，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．7．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：则由图象知函数f（x）不是周期函数，故A错误，不是奇函数，故B错误，第9页（共20页）若x＞0，f（+x）＝cos（+x）＝coscosx﹣sinsinx＝（cosx﹣sinx），f（﹣x）＝sin（﹣x）＝sincosx﹣cossinx＝（cosx﹣sinx），此时f（+x）＝f（﹣x），若x≤0，f（+x）＝sin（+x）＝sincosx+cossinx＝（cosx+sinx），f（﹣x）＝cos（﹣x）＝coscosx+sinsinx＝（cosx+sinx），此时f（+x）＝f（﹣x），综上恒有f（+x）＝f（﹣x），即图象关于直线对称，故C正确，f（x）在处f（x）＝f（）＝cos＝0不是最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质，利用定义法结合数形结合是解决本题的关键．8．【解答】解：模拟程序的运行，可得A＝1，B＝0满足条件A≤4，执行循环体，B＝1，A＝2满足条件A≤4，执行循环体，B＝4，A＝3满足条件A≤4，执行循环体，B＝13，A＝4满足条件A≤4，执行循环体，B＝40，A＝5此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．【解答】解：∵a（2sinB﹣cosC）＝ccosA，第10页（共20页）∴2sinAsinB﹣sinAcosC＝sinCcosA，即2sinAsinB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴2sinA＝，即sinA＝，即A＝或∵点D是边BC的中点，∴＝（+），平方得2＝（2+2+2•），即＝（b2+c2+2bccosA），即13＝1+c2+2ccosA，若A＝则c2+c﹣12＝0得c＝3或c＝﹣4（舍），此时三角形的面积S＝bcsinA＝＝若A＝则c2﹣c﹣12＝0得c＝4或c＝﹣3（舍），此时三角形的面积S＝bcsinA＝＝，综上三角形的面积为或，故选：D．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键．10．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由y12＝6x1，y22＝6x2，相减可得（y1+y2）（y1﹣y2）＝6（x1﹣x2），∵y1+y2＝4，∴k＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了点差法求出直线的斜率，属于基础题．11．【解答】解：f（﹣x）＝﹣xsin（﹣2x）+cos（﹣x）＝xsin2x+cosx＝f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，第11页（共20页）由f（x）＝x2sinxcosx+cosx＝0，得cosx（2xsinx+1）＝0，得cosx＝0，此时x＝或，由2xsinx+1＝0得sinx＝﹣，作出函数y＝sinx和y＝﹣，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．12．【解答】解：∵x＞0，∴ex﹣e﹣x＞0∴f（x）＝＝＝（ex﹣e﹣x）+﹣2a≥2﹣2a，∵函数f（x）＝的最小值为6，∴2﹣2a＝6，解得a＝﹣1或7，故选：B．【点评】本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题二、填空题第12页（共20页）13．【解答】解：∵不共线；∴；∵；∴存在实数λ，使；∴；∴根据平面向量基本定理得，；解得．故答案为：．【点评】考查共线向量基本定理，平面向量基本定理．14．【解答】解：函数f（x）满足，可得f（x）＝8x3﹣6x，即有f′（x）＝24x2﹣6，可得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝18，切点为（1，2），可得切线方程为y﹣2＝18（x﹣1），即为18x﹣y﹣16＝0．故答案为：18x﹣y﹣6＝0．【点评】本题考查函数的解析式的求法，以及导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．【解答】解：sin10°+mcos10°＝﹣2cos40°，整理得：sin10°+mcos10°＝﹣2cos（10°+30°）＝﹣2[]，整理得：m＝﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16．【解答】1解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：如图所示：第13页（共20页）所以：O为外接球的球心，所以：R，故：S＝4＝20π故答案为：20π【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题17．【解答】解：（1）设数列{an}为公差为d的等差数列，a7﹣a2＝10，即5d＝10，即d＝2，a1，a6，a21依次成等比数列，可得a62＝a1a21，即（a1+10）2＝a1（a1+40），解得a1＝5，则an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；（2）bn＝＝＝（﹣），即有前n项和为Sn＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝，由Sn＝，可得5n＝4n+10，解得n＝10．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性