论三角函数与双曲函数

1论三角函数与双曲函数信院23系解鑫PB11203155摘要：三角函数与双曲函数无论从形式上，还是各种公式上都有极大的相似性。应用时也都相伴出现。细细对比会发现，由欧拉公式必然会得出三角函数与双曲函数的诸多对应关系。关键字：三角函数、双曲函数、相似性、欧拉公式正文：§1三角函数、双曲函数的对比§1.1定义：1、几何定义：1）、三角函数的定义：三角函数可以依据直角坐标单位圆来定义，给定一个角度θ，与单位圆交于（x,y）点，如右图所示。则有：正弦：sinθ=y余弦：cosθ=x正切：tanθ=sinθ/cosθ余切：cotθ=cosθ/sinθ2）、双曲函数的定义：双曲函数可以依据直角坐标单位双曲线定义，给定一条从原点发出的射线p，与p关于x轴的镜像和双曲线之间的面积a，射线p与双曲线交于（x,y）点，如右图所示。则有：双曲正弦：sinha=y双曲余弦：cosha=x双曲正切：tanha=sinha/cosha双曲余切：cotha=cosha/sinha3）、总结2从定义可以看出它们具有很好的相似性，就像两个双胞胎来自同一个地方。区别仅在于：三角函数是用单位圆定义的，自变量是角度θ；双曲函数是用单位双曲线定义的，自变量是面积a。2、公式定义：1）、三角函数定义：正弦：sinθ=𝐞i𝛉−𝐞−i𝛉𝟐𝐢余弦：cosθ=𝐞i𝛉+𝐞−i𝛉𝟐正切：tanθ=sinθ/cosθ余切：cotθ=cosθ/sinθ2）、双曲函数定义：双曲正弦：sinha=𝐞a−𝐞−a𝟐双曲余弦：cosha=𝐞a+𝐞−a𝟐双曲正切：tanha=sinha/cosha双曲余切：cotha=cosha/sinha3)、总结：从公式定义也可以看出，三角函数与双曲函数具有很好的相似性，只是一些小细节稍微不同，大体上是相同的§1.2：反函数：1、反三角函数：反三角函数定义定义域arcsinx=ysiny=x[-1,1]arccosx=ycosy=x[-1,1]arctanx=ytany=xRarccotx=ycoty=xR2、反双曲函数：反双曲函数定义定义域arcsinhx=ln(x+𝐱𝟐+𝟏)sinhy=xR3arccoshx=ln(x+𝐱𝟐−𝟏)coshy=x[1,+∞]arctanhx=𝟏𝟐ln(𝟏+𝐱𝟏−𝐱)tanhy=x[-1,1]arccothx=𝟏𝟐ln(𝐱+𝟏𝐱−𝟏)cothy=x[-∞,-1]∪[1,+∞]3、总结：反三角函数与反双曲函数的定义都来自反函数的定义，因而这是共性。§1.3：图像三角函数双曲函数sinxsinhxcosxcoshxtanxtanhx4cotxcothxarcsinxarcsinhxarccosxarccoshxarctanxarctanhxarccotxatccothx总结:5可以看出：一般三角函数是周期的，而双曲函数没有周期性。三角函数与双曲函数的奇偶性大体相同，如正弦、余弦、正切、余切与双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切的奇偶性是一样的。§1.4：恒等式三角函数双曲函数𝐬𝐢𝐧𝟐𝐱+𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱=𝟏𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐𝐱−𝐬𝐢𝐧𝐡𝟐𝐱=𝟏总结:可以看出：只是一个正负号的区别。§1.5：加法公式三角函数双曲函数sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)tan(x+y)=𝐭𝐚𝐧𝐱+𝐭𝐚𝐧(𝐲)𝟏−𝐭𝐚𝐧𝐱𝐭𝐚𝐧(𝐲)tanh(x+y)=𝐭𝐚𝐧𝐡𝐱+𝐭𝐚𝐧𝐡(𝐲)𝟏+𝐭𝐚𝐧𝐡𝐱𝐭𝐚𝐧𝐡(𝐲)总结：可以看出：加法公式具有很好的相似性，仅个别正负号不同。§1.6：减法公式三角函数双曲函数sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)tan(x-y)=𝐭𝐚𝐧𝐱−𝐭𝐚𝐧(𝐲)𝟏+𝐭𝐚𝐧𝐱𝐭𝐚𝐧(𝐲)tanh(x-y)=𝐭𝐚𝐧𝐡𝐱−𝐭𝐚𝐧𝐡(𝐲)𝟏−𝐭𝐚𝐧𝐡𝐱𝐭𝐚𝐧𝐡(𝐲)总结：可以看出：减法公式具有很好的相似性，仅个别正负号不同。§1.7：二倍角公式三角函数双曲函数sin(2x)=2sin(x)cos(x)sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)cos(2x)=𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱−𝐬𝐢𝐧𝟐𝐱cosh(2x)=𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐𝐱+𝐬𝐢𝐧𝐡𝟐𝐱tan(2x)=𝟐𝐭𝐚𝐧𝐱𝟏−𝐭𝐚𝐧𝟐𝐱tanh(2x)=𝟐𝐭𝐚𝐧𝐡𝐱𝟏+𝐭𝐚𝐧𝐡𝟐𝐱总结：可以看出：二倍角公式具有很好的相似性，仅个别正负号不同。§1.8：三倍角公式三角函数双曲函数6sin(3x)=3sin(x)-4𝐬𝐢𝐧𝟑(x)sinh(3x)=3sinh(x)+4𝐬𝐢𝐧𝐡𝟑(x)cos(3x)=𝟒𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱−𝟑𝐜𝐨𝐬(𝐱)cosh(3x)=𝟒𝐜𝐨𝐬𝐡𝟑𝐱−𝟑𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐱)总结：可以看出：三倍角公式具有很好的相似性，仅个别正负号不同。§1.9：导数三角函数双曲函数（sin(x)）'=cos(x)（sinh(x)）'=cosh(x)（cos(x))'=-sin(x)（cosh(x))'=sinh(x)（tan(x))'=𝟏𝐜𝐨𝐬𝟐(𝐱)（tanh(x))'=𝟏𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐(𝐱)（cot(x))'=−𝟏𝐬𝐢𝐧𝟐(𝐱)（coth(x))'=−𝟏𝐬𝐢𝐧𝐡𝟐(𝐱)（arcsin(x))'=𝟏𝟏−𝐱𝟐（arcsinh(x))'=𝟏𝐱𝟐+𝟏（arccos(x))'=−𝟏𝟏−𝐱𝟐（arccosh(x))'=𝟏𝐱𝟐−𝟏（arctan(x))'=𝟏𝟏+𝐱𝟐（arctanh(x))'=𝟏𝟏−𝐱𝟐(|x|1)（arccot(x))'=-𝟏𝟏+𝐱𝟐（arccoth(x))'=𝟏𝟏−𝐱𝟐(|x|1)总结：可以看出：求导公式具有很好的相似性。§1.10：不定积分三角函数双曲函数𝐜𝐨𝐬(𝐱)𝐝𝐱=sin(x)+c𝐜𝐨𝐬𝐡𝐱𝐝𝐱=sinh(x)+c𝐬𝐢𝐧(𝐱)𝐝𝐱=-cos(x)+c𝐬𝐢𝐧𝐡𝐱𝐝𝐱=cosh(x)+c𝟏𝐜𝐨𝐬𝟐(𝐱)𝐝𝐱=tan(x)+𝐜𝟏𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐(𝐱)𝐝𝐱=tanh(x)+c𝟏𝐬𝐢𝐧𝟐(𝐱)𝐝𝐱=−cot(x)+c𝟏𝐬𝐢𝐧𝐡𝟐(𝐱)𝐝𝐱=coth(x)+c𝟏𝟏−𝐱𝟐𝐝𝐱=arcsin(x)+c𝟏𝐱𝟐+𝟏𝐝𝐱=arcsinh(x)+c\𝟏𝐱𝟐−𝟏𝐝𝐱=arccosh(x)+c𝟏𝟏+𝐱𝟐dx=arctan(x)+c𝟏𝟏−𝐱𝟐𝐝𝐱=arctanh(x)+c总结：可以看出：不定积分公式具有很好的相似性。§1.11：泰勒展开1、三角函数：函数展开式sin(x)sin(x)=𝐱−𝐱𝟑𝟑!+⋯+(−𝟏)𝐦−𝟏𝐱𝟐𝐦−𝟏(𝟐𝐦−𝟏)!+𝐨(𝐱𝟐𝐦−𝟏)7cos(x)cos(x)=𝟏−𝐱𝟐𝟐!+⋯+(−𝟏)𝐦−𝟏𝐱𝟐𝐦−𝟐(𝟐𝐦−𝟐)!+𝐨(𝐱𝟐𝐦−𝟐)2、双曲函数：函数展开式sinh(x)sinh(x)=𝐱+𝐱𝟑𝟑!+⋯+𝐱𝟐𝐦−𝟏(𝟐𝐦−𝟏)!+𝐨(𝐱𝟐𝐦−𝟏)cosh(x)cosh(x)=𝟏+𝐱𝟐𝟐!+⋯+𝐱𝟐𝐦−𝟐(𝟐𝐦−𝟐)!+𝐨(𝐱𝟐𝐦−𝟐)3、总结：可以看出：三角函数与双曲函数的展开式同样很相似，区别仅为三角函数展开式各项正负交替，而双曲函数每项都是正的。§2三角函数与双曲函数的应用§2.1：在解微分方程中的应用分离变量法求解∆u=𝟎,𝟎𝐱𝐚,𝟎𝐲𝐛𝛛𝐮𝛛𝐲|𝐲=𝟎=𝟎,𝛛𝐮𝛛𝐲|𝐲=𝐛=𝟎,𝐮|𝐱=𝟎=𝟎,𝐮|𝐱=𝐚=𝐟𝐲.【解】：设：u(x,y)=X(x)Y(y),代入方程和齐次边界条件，分离得：Y′′𝐲+𝛌Y𝐲=𝟎,𝐘′𝟎=𝐘′𝐛=𝟎.和X（x）的常微分方程：X''𝐱−𝛌𝐗𝐱=𝟎解固有值问题得：𝛌=（𝐧𝛑b）𝟐,𝐧=𝟎,𝟏,𝟐….固有函数：𝐘n𝐲=𝐜𝐨𝐬𝐧𝛑b𝐲相应的：X𝟎𝐱=𝐂𝟎+𝐃𝟎𝐱,𝐗𝐧𝐱=𝐂𝐧𝐜𝐨𝐬𝐡𝐧𝛑b𝐱+𝐃𝐧𝐬𝐢𝐧𝐡𝐧𝛑b𝐱,𝐧=𝟏,𝟐,𝟑….⇒𝐮𝐱,𝐲=𝐂𝟎+𝐃𝟎𝐱+[𝐂𝐧𝐜𝐨𝐬𝐡𝐧𝛑b𝐱+𝐃𝐧𝐬𝐢𝐧𝐡𝐧𝛑b𝐱+∞𝐧=𝟏]𝐜𝐨𝐬𝐧𝛑b𝐲由边界条件得：8𝐂𝐧=𝟎,𝐧=𝟎,𝟏,𝟐….𝐃𝟎=𝟏𝐚𝐛𝐟𝐲𝐝𝐲𝐛𝟎𝐃𝐧=𝟐𝐛∗𝐬𝐢𝐧𝐡𝐚𝐧𝛑b𝐟𝐲𝐜𝐨𝐬𝐧𝛑b𝐲𝐝𝐲𝐛𝟎,𝐧=𝟏,𝟐,𝟑….从而得形式解：𝐮𝐱,𝐲=𝐱𝐚𝐛𝐟𝐲𝐝𝐲𝐛𝟎+{𝟐𝐛∗𝐬𝐢𝐧𝐡𝐚𝐧𝛑b𝐟𝐲𝐜𝐨𝐬𝐧𝛑b𝐲𝐝𝐲𝐛𝟎}𝐬𝐢𝐧𝐡𝐧𝛑b𝐱+∞𝐧=𝟏𝐜𝐨𝐬𝐧𝛑b𝐲【总结】：本列不在与解法，而在于，从这个例子可以看出，三角函数与双曲函数在应用场合总是相依相伴的出现。§3欧拉公式的推导§3.1：欧拉公式的推导1、欧拉公式为：𝐞𝐢𝐱=𝐜𝐨𝐬𝐱+𝐢𝐬𝐢𝐧⁡(𝐱)2、推导：𝐞𝐱的泰勒展开为：𝐞𝐱=𝟏+𝐱+𝐱𝟐𝟐!+⋯+𝐱𝐧𝐧!+𝐨(𝐱𝐧)则𝐞𝐢𝐱的展开式为：𝐞𝐢𝐱=𝟏+𝐢𝐱+(𝐢𝐱)𝟐𝟐!+⋯+(𝐢𝐱)𝐧𝐧!+𝐨(𝐢𝐱)𝐧而：cos(x)+isin(x)=𝟏−𝐱𝟐𝟐!+⋯+−𝟏𝐦−𝟏𝐱𝟐𝐦𝟐𝐦!+𝐨𝐱𝟐𝐦+𝐢𝐱−𝐢𝐱𝟑𝟑!+⋯+𝐢−𝟏𝐦+𝟏𝐱𝟐𝐦+𝟏𝟐𝐦+𝟏!+𝐢𝐨𝐱𝟐𝐦+𝟏=𝟏+𝐢𝐱−𝐱𝟐𝟐!−𝐢𝐱𝟑𝟑!+⋯+−𝟏𝐦−𝟏𝐱𝟐𝐦𝟐𝐦!𝐢+−𝟏𝐦+𝟏𝐱𝟐𝐦+𝟏𝟐𝐦+𝟏!+𝐨(𝐱𝟐𝐦)=𝟏+𝐢𝐱+（𝐢𝐱)𝟐𝟐!+(𝐢𝐱)𝟑𝟑!+⋯+(𝐢𝐱)𝟐𝐦−𝟏(𝟐𝐦−𝟏)!+(𝐢𝐱)𝟐𝐦(𝟐𝐦)!+𝐨((𝐢𝐱)𝟐𝐦)=𝐞𝐢𝐱所以：9𝐞𝐢𝐱=𝐜𝐨𝐬𝐱+𝐢𝐬𝐢𝐧(𝐱)§4三角函数与双曲函数的关系§4.1：三角函数与双曲函数的关系1、由欧拉公式可以得出：sinhx=𝐞𝐱−𝐞−𝐱𝟐=12(𝐞𝐢−𝐢𝐱−𝐞𝐢(𝐢𝐱))=𝟏𝟐{𝐜𝐨𝐬−𝐢𝐱+𝐢𝐬𝐢𝐧−𝐢𝐱−𝐜𝐨𝐬𝐢𝐱+𝐢𝐬𝐢𝐧𝐢𝐱}=𝟏𝟐{𝐜𝐨𝐬𝐢𝐱−𝐢𝐬𝐢𝐧𝐢𝐱−𝐜𝐨𝐬𝐢𝐱+𝐢𝐬𝐢𝐧𝐢𝐱}=𝟏𝟐{−𝟐𝐢𝐬𝐢𝐧𝐢𝐱}=−𝐢𝐬𝐢𝐧𝐢𝐱coshx=𝐞𝐱+𝐞−𝐱𝟐=12(𝐞𝐢−𝐢�