第一章----张量初步

矢量空间的有关概念线性相关矢量组ui（i=1,2,…,n)：存在一组不全为零的实数ai（i=1,2,…n)，使得下式成立线性无关：若存在矢量组ui（i=1,2,…,k1)，当且仅当ai=0（i=1,2,…k)，使得下式成立则称这组k个矢量是线性无关的。矢量空间的维数：一个矢量空间所包含的最大线性无关组中矢量的数目称为该矢量空间的维数。说明：在n维空间中，可以根据解决物理问题的需要选择n个线性无关的基矢量，而任意矢量可用n个基矢量的线性组合来表示。常用空间维数为n=3或n=2。02211nnaaauuu02211kkaaauuu2ppt/102三维空间中矢量的几种乘积运算：（1）两个矢量a、b的点积定义一个标量a，记为（2）两个矢量a、b的叉积定义一个矢量c，记为式中i、j、k为三维空间中的单位正交基矢量。课堂练习：试分别用矢量点积和叉积运算推导三角形的余弦定理和正弦定理。332211cosbababaabaaabbaasin,321321abcbbbaaackjiabbac3ppt/102三维空间中矢量的几种乘积运算：（3）三个矢量a、b、c的混合积得到一个标量a（4）三个矢量a、b、c的双重叉积得到一个矢量d置换符号（permutationsymbol）：321321321)()()(cccbbbaaabacacbcbaacbabcacbad)()()(.123;123;1,-1,0,的奇排列为、、的偶排列为、、如果有两个指标相同kjikjieijk4ppt/102矢量与矩阵（vectorandmatrix）设u、v、w为3个行矢量（分量排成行），则对应列矢量（分量排成列）分别记为uT、vT、wT。定义矩阵及其转置矩阵为式中T为转置符号，矢量的点积可记为注意333222111321321321,wvuwvuwvuuvvuvuTT5ppt/102矩阵与其转置矩阵的乘积矩阵A的行列式（determinate）记为detA式中[uvw]表示矢量u、v、w的混合积。矩阵乘积的行列式所以wwvwuwwvvvuvwuvuuuwwvwuwwvvvuvwuvuuuAATTTTTTTTTT][detdet,321321321wvuAAwvuA][)det(wvuwwvwuwwvvvuvwuvuuuAAT)(det)(det)det(BABA6ppt/102平面斜角直线坐标系平面内任意矢量p可表示为g1、g2称为协变基矢量，（vectorofcovariantbase）沿互为斜角直线方向，g1、g2称为逆变基矢量，（vectorofcontravariantbase）逆变和协变基用上、下标区分，对应的pk、pk（k=1,2）分别称为矢量p的逆变和协变分量。22112211ggggppppp7ppt/102协变、逆变基矢量满足如下关系：所以特别提示：在直角坐标系中，逆变与协变基矢量相同，不需区分逆变与协变分量，即不用区分上标、下标。jijijiji,1,0gg2,1,,ippjjiigpgp22112211ggggppppp8ppt/102三维空间中斜角直线坐标系空间内一点的矢径r=r(x1，x2，x3)可表示为式中引用了求和约定，协变基矢量gi（i=1，2，3）定义为所以定义称为度量张量G=(gij)的分量。iixxxxggggr3322113,2,1,,jiggjijiijgg3,2,1,ixiirgiiiixxxdddgrr9ppt/102根据公式有式中g是度量张量矩阵行列式的值。另外所以2][)det(wvuwwvwuwwvvvuvwuvuuuAAT3,2,1,,jigjiijgg2321][)det()det(gggggjiijgg]][[)det()det(1321321ggggggggjijig][1][321321gggggg10ppt/102同样，如果定义则有所以因此，(gij)与(gij)互为逆矩阵。3,2,1,,jigjiijggggjiij1][)det()det(2321gggggg][1][321321gggggg2321][)det()det(gggggjiijgg1)det()det()det(,)det(11)det(ijijknmkijijggggggg11ppt/102如果将协变基矢量沿逆变基分解，即由于所以因此同理这表明gik、gik分别具有升、降指标的作用。另外，显然有这再次证明(gij)与(gij)互为逆矩阵。3,2,1,,jigjiijgg3,2,1,,kikikiggaijijjiggggijkjikjkikjiijgaaagggg3,2,1,,,kiggkiikkikigggg3,2,1,,,kiggkiikkikigggg1)det()det(,kjikijkjikjkikjiijggggggggg12ppt/102由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2、g3垂直，可以用协变基矢量g2、g3的叉积表示逆变基g1：上式两端同时点乘g1得到所以同理3,2,1,,jiijjigg)(321gggcgccc][)(132132111gggggggg)(1321gggg)(1)(1213132gggggggg13ppt/102（1）证明：协变基gi(i=1,2,3)可用逆变基gi的叉积表示为（2）证明：对任意矢量它的逆变分量pi、协变分量pi(i=1,2,3)存在指标升降关系(3）证明：对任意矢量u、v，存在下列关系)()()(213132321ggggggggggggjjiippggp3,2,1,,,kigppgppkjkjkikiijjiikkiiiiigvugvuvuvuvu课堂练习14ppt/102空间一点的矢径可表示为x1′、x2′、x3′可表示为曲线坐标的函数：为笛卡儿直角坐标，为曲线坐标。曲线坐标与空间点一一对应的条件是：为定义域内的单值、连续可微函数，并且雅可比矩阵的行列式非零，即)(),,(321ikkkxxxxxxx)3,2,1(kxk)3,2,1(ixi)3,2,1(ixi)(ikkxxx0)det(,0)det(kiikxxxx曲线坐标系kkxxxxeeeer33221115ppt/102空间一点的局部协变基矢量定义为gi(i=1,2,3)与笛卡儿直角坐标系的正交标准基e1′、e2′、e3′的转换关系为在笛卡儿直角坐标系中，Hamilton微分算子定义为332211ddd,eeeergrrrgxxxxxxxxkkiiiiii空间点的局部基矢量kkxxxxeeee3322113,2,1,,kixxkikieg16ppt/102下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的梯度，即设，只要证明即可。因为所以上式两端同乘以并对j求和，得到3,2,1,,kixxxkkiiieg空间点的局部基矢量kkiiega3,2,1,,sjxxsjsjegjssiskjskisjskkijiijxxxxxxaaa)()(eeggkjxx/kikisksikssikjjssikjijxxxxxxxxxxaaaa,3,2,1,,kixxkikia17ppt/102利用指标的升、降运算，空间一点的矢径的微分增量可以沿协变基或逆变基分解式中dxi是通过度量张量和dr的逆变分量dxj得到的协变分量，一般情况下，它不是坐标xi的微分，因为在曲线坐标系中，xi是尚未定义的量。在正交曲线坐标系中，当i≠j，gij=gi·gj=0，gij=gi·gj=0，Lamé常数Ai通过度量张量非零分量定义如下微元dr的弧长可通过Lamé常数Ai表示为正交曲线坐标系与拉梅常数jijiiijjxgxxxdd,dddggr333222111,,gAgAgA2332222112)d()d()d()d()d(dd)(dxAxAxAxxsjjiiggrr18ppt/102设两组曲线坐标xj与xi′有一一对应关系xj=xj(xi′)，xi′=xi′(xj)记则有坐标变换式这是因为根据定义所以同理坐标变换3,2,1,,,jixxxxjiijijji3,2,1,,,jijijijjiiggggiiijijiijjjjxxxxxxdddddggggr3,2,1,,jijjiigg3,2,1,,jijijigg19ppt/102利用下面公式，证明：（1）协变、逆变基坐标变换公式（2）度量张量分量坐标变换公式因此，ji′、i′j称为变换系数。课堂练习3,2,1,,,jijijijjiigggg3,2,1,,,jiijijiijjgggg3,2,1,,,jixxxxjiijijji3,2,1,,,,,skjiggggksjsikjikssjkiji3,2,1,,,,,skjiggggskjsikijsksjkiij20ppt/102证明：对于任意矢量其分量的坐标变换公式为式中，ji′、i′j称为变换系数。课堂练习3,2,1,,,3,2,1,,,skvvvvjivvvvkskskkssjijijjii3,2,1,,,,jijivvvvjjiijjiiggggv21ppt/102并矢：两个矢量a与b的并矢定义一个不同于矢量的新的量，记为ab，称为二阶并矢，它可以与任意矢量f进行点积运算，得到一个矢量并满足下列规则类似地，可定义多个矢量的并矢，例如abc，uvwp等等，分别称为三阶并矢、四阶并矢。除交换律不满足以外，并矢服从初等代数的运算规律：（1）对数乘的结合律；（2）对加法的分配律。并矢ab的转置：定义为ba，显然是一个新的并矢。缩并：在并矢中，若取其中两个矢量进行点积，这种运算称为缩并。任意并矢缩并后，其结果阶次降2，例如二阶并矢缩并后结果为标量，三阶并矢缩并后结果为矢量。并矢与张量概念afbfabbafabf)()(,)()(22ppt/102并矢的点积：两个并矢的点积是指将它们相邻的两个矢量进行缩并。例如(ab)·uv=(b·u)av，uv·(ab)=(v·a)ub类似地可定义并矢的叉积：(ab)×(uvw)=a(b×u)vw显然并矢的点积与叉积均不满足交换律。并矢的双点积：有下列两种。（1）串联式：（2）并联式：类似地有并矢的双叉积：并矢与张量概念))(()(),)(()(bvauabuvubvauvab23ppt/102矢量的两种表示法（1