高考数学必备：回归课本的100个问题

微信公众号：数学K哥-1-回归课本的100个问题1．区分集合中元素的形式：即搞清楚集合的元素是什么？如：|lgxyx—函数的定义域；|lgyyx—函数的值域；(,)|lgxyyx—函数图象上的点集.2．在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．3.含n个元素的集合的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集为2n－2.如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M集合M有______个.（答：7）4.CU（A∩B）=CUA∪CUB：CU（A∪B）=CUA∩CUB：card（A∪B）=?5.A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U6.注意命题pq的否定与它的否命题的区别：命题pq的否定是pq；否命题是pq；命题“p或q”的否定是“┐P且┐Q”，“p且q”的否定是“┐P或┐Q”7.指数式、对数式：mnmnaa，1mnmnaa，01a，log10a，log1aa，lg2lg51，loglnexx，log(0,1,0)baaNNbaaN，logaNaN.8.二次函数（1）三种形式：①一般式f（x）=ax2+bx+c（轴-b/2a，a≠0，顶点?）；②顶点f（x）=a（x-h）2+k；③零点式f（x）=a（x-x1）（x-x2）（轴?）；（2）党b=0时，f（x）为偶函数；（3）区间最值：配方后一看开口方向，二讨论对称轴与区间的相对位置关系：如：若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间]2,2[b，则b＝（答：2）（4）实根分布：先画图再研究△0、轴与区间关系、区间端点函数值符号：9.反比例函数：)0x(xcy平移bxcay（中心为（b，a））.10.对勾函数xaxy是奇函数，上为增函数，，在区间时)0(),0(,0a；递减，在时)0,[],0(,0aaa，递增，在),a[],a(.11．反函数：指数函数()xfxa与对数函数()log(01)afxxaa且互为反函数，它们的图像关于直线yx对称.原函数定义域是反函数的值域，原函数值域是反函数的定义域.12.求函数单调性时，结果要用区间表示，多个单调区间之间用“和”或“，”，不能用“∪”和“或”．13.奇偶性：特别注意定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件.（1）f（x）是偶函数f（-x）=f（x）=f（|x|）；微信公众号：数学K哥-2-（2）f（x）是奇函数f（-x）=-f（x），定义域含零的奇函数过原点（f（0）=0），用f（0）=0解题时要注意验证.14.周期性：（1）若()yfx图像有两条对称轴,()xaxbab，则()yfx必是周期函数，且一周期为2||Tab；（2）三个结论：①函数()fx满足xafxf(0)a，则()fx是周期为a的周期函数；②函数()fx满足xafxf，则()fx是周期为2a的周期函数；③若()(0,0)()mfxaamfx恒成立，则()fx是周期为2a的周期函数.15．函数的对称性（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）反比例函数：(0)cycx平移bxcay（中心为(,)ba）；（3）几个结论：①若函数()fx满足fxafbx，则函数()fx图象关于直线2abx对称；②若函数()fx满足+=fxafbxc，则函数()fx图象关于点(,)22abc对称.16.反函数：①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数；③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数；④互为反函数的两函数具相同单调性；⑤f（x）定义域为A，值域为B，则f[f-1（x）]=x（x∈B），f-1[f（x）]=x（x∈A）；⑥原函数定义域是反函数的值域，原函数值域是反函数的定义域.题型方法总结18．判定相同函数：定义域相同且对应法则相同19．求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()fxaxbxc；顶点式：2()()fxaxmn；零点式：12()()()fxaxxxx）.如已知()fx为二次函数，且)2()2(xfxf，且f（0）=1，图象在x轴上截得的线段长为22，求()fx的解析式.（答：21()212fxxx）（2）代换（配凑）法――已知形如(())fgx的表达式，求()fx的表达式.如①已知,sin)cos1(2xxf求2xf的解析式（答：242()2,[2,2]fxxxx）；微信公众号：数学K哥-3-②若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=_____（答：223xx）；③若函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当),0(x时，)1()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=________（答：3(1)xx）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()fx的定义域应是()gx的值域.（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组.如①已知()2()32fxfxx，求()fx的解析式（答：2()33fxx）；②已知()fx是奇函数，)(xg是偶函数，且()fx+)(xg=11x，则()fx=（答：21xx）.20．求定义域：使函数解析式有意义（如：分母?：偶次根式被开方数?：对数真数?，底数?：零指数幂的底数?）：实际问题有意义：若f（x）定义域为[a，b]，复合函数f[g（x）]定义域由a≤g（x）≤b解出；若f[g（x）]定义域为[a，b]，则f（x）定义域相当于x∈[a，b]时g（x）的值域；如：若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为__________（答：42|xx）；（2）若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为________（答：[1，5]）．21．求值域：①配方法：如：求函数225,[1,2]yxxx的值域（答：[4，8]）；②逆求法（反求法）：如：313xxy通过反解，用y来表示3x，再由3x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围（答：（0，1））；③换元法：如（1）22sin3cos1yxx的值域为_____（答：17[4,]8）；（2）211yxx的值域为_____（答：3,）（令1xt，0t.运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：2sin11cosy的值域（答：3(,]2）；⑤不等式法――利用基本不等式2(,)abababR求函数的最值.如设12,,,xaay成等差数列，12,,,xbby成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是____________.（答：(,0][4,)）.⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域.如求1(19)yxxx，229sin1sinyxx，232log5xyx的值域为______（答：80(0,)9、11[,9]2、0,）；微信公众号：数学K哥-4-⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.如（1）已知点(,)Pxy在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围（答：33[,]33、[5,5]）；（2）求函数22(2)(8)yxx的值域（答：[10,)）；⑧判别式法：如（1）求21xyx的值域（答：11,22）；（2）求函数23xyx的值域（答：1[0,]2）如求211xxyx的值域（答：(,3][1,)）⑨导数法：分离参数法：―如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值.（答：－48）用2种方法求下列函数的值域：①32([1,1])32xyxx②（)0,(,32xxxxy；③)0,(,132xxxxy22．解应用题：审题（理顺数量关系）、建模、求模、验证23．恒成立问题：分离参数法：最值法：化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f（x）恒成立a≥[f（x）]max，：a≤f（x）恒成立a≤[f（x）]min：⑦任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即f（x）＝()()gxhx＋其中g（x）＝fxfx2（）＋（－）是偶函数，h（x）＝fxfx2（）－（－）是奇函数24．利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出(0)f或(1)f、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究.如（1）若xR，()fx满足()()fxyfx()fy，则()fx的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若xR，()fx满足()()fxyfx()fy，则()fx的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()fx是定义在(3,3)上的奇函数，当03x时，()fx的图像如右图所示，那么不等式()cos0fxx的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22）；（4）设()fx的定义域为R，对任意,xyR，都有()()()xffxfyy，且1x时，()0fx，又1()12f，①求证()fx为减函数；②解不等式2()(5)fxfx.（答：0,14,5）．O123xy微信公众号：数学K哥-5-25、导数几何物理意义：k=f/（x0）表示曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率.V＝s/（t）表示t时刻即时速度，a=v′（t）表示t时刻加速度.26、an={),2()1(*11NnnSSnSnn注意验证a1是否包含在an的公式中.27、)*,2(2)(111中项常数｝等差｛Nnnaaadaaannnnnn?,,,);0()(2BAbaBnAnsbanann的二次常数项为一次2nn-1n1n1naaa(n2,nN)a}q();a0nnaa｛等比定?m;aa11nnnnqmmsq28、首项正的递减（或首项负的递增）等差数列前n项和最大（或最小）问题，转化为解不等式)00(0011nnnnaaaa或，或用二次函数处理：（等比前n项积?），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？29．等差数列中an=a1+（n-1）d：Sn=dnnna2)1(1=dnnnan2)1(=2)(1naan等比数列中an=a1qn-1：当q=1，Sn=na1当q≠1，Sn=qqan1)1(1=qqaan1130．常用性质：等差数列中，an=am+（n－m）d，nmaadnm：当m+n=p+q，am+an=ap+aq；等比数列中，an=amqn-m：当m+n=p+q，aman=apaq；31．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列.等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列.如：公比为-1时，4S、8S-4S、12S-8S、…不成等比数列32．求和常法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.33．求通项常法：（1）已知数列的前n项和ns，求通项na，可利用公式：2)(nSS1)(nSa1nn1n（2）先猜后证（3）递推式为1na＋＝na＋f（n）（采用累加法）；1na＋＝na×f（n）（采用累积法）；（4