债券价值与利率期限结构

第三章現值、債券價值與利率期限結構2007.10.1第二章介紹了財務管理中最重要的概念：貨幣的時間價值（timevalueofmoney）。貨幣的時間價值就是決定本期貨幣價值和未來期間貨幣價值間的關係。本章將第二章的現值概念由一期的架構延伸為多期的架構，接著將利用多期架構下的現值公式討論各種債券的價值以及長短期利率間的關連。在多期架構下，除了將不同時間的現金流量轉換為以相同時間的貨幣來衡量外，還須考量不確定性。此時，投資決策者計算現值時應如何適切考量風險因素？本書第十章將討論存在風險情形下，如何調整折現率以計算現值及淨現值。本章暫不考慮風險的存在如何影響淨現值的計算，但先以例子說明風險因素如何影響投資決策。例子：台藝畫廊正考慮以40萬元購入一幅王秋香40號油畫，預計此畫明年售出可得款48萬元，這項投資計劃的現金流量圖為現金收入48萬元01現金支出-40萬元目前銀行存款利率為10%，請問該畫廊是否應購入這幅畫？一般而言，現金流量圖中48萬元現金收入不應視為事先確定的數字，最多只是預測值。若台藝畫廊忽略投資畫作和存款間風險的差異，而以存款利率10%做為購置的資本機會成本(opportunitycostofcapital)，則下一期出售畫作價款的現值為484363641.1萬元萬元。由於43萬6364元的現值高於本期購畫成本40萬元，畫廊似乎應選擇此項投資計劃。由於藝品投資的風險遠較存款為高，不宜以存款利率做為資本機會成本（或稱折現率），而恰當的折現率應比10%為高才能合理反映此項投資計劃的風險。經過仔細評估，畫廊廖老闆認為25%才能反映購畫計劃的風險，亦即25%才是合理的資本機會成本。此時，下一期出售油畫價款現值變為483840001.25萬元萬元，而此項投資計劃的淨現值為負：384,000元000,400元=000,16元依據第二章的淨現值法則，畫廊不應選擇此項投資計畫。由於投資決策涉及投資計畫執行期間現金流量的評估，而未來又充滿不確定性，這個例子說明公司經營階層如何選擇恰當的折現率是投資決策過程中最大的挑戰。1.複利計息的威力黃朝貸出手中的1萬元現金後，下一期將有本金加利息的現金收入：(1+r)萬元，r為市場均衡利率。黃朝若將所得的(1+r)萬元再貸出一期，由於已將前期所賺的利息r萬元做為下一期的本金再生利息，這個過程稱為複利計息（compoundingprocess）。第二期結束後，黃朝可取得的投資收益為萬元)rr21(萬元)r1(萬元)r1()r1(122，式中r²表示將第一期收到的利息（r萬元）做為第一期可貸出的本金，在第二期所賺到的利息，即「息生息」。2r表示兩年期間單利計息所賺取的利息。兩相比較可知：以複利計息所賺取的投資收益和單利計息所賺取的投資收益兩期後金額相差r²萬元。兩期後黃朝將收到的(1+r)2萬元再貸出一期，第三期結束後本金加利息的現金收入變為）萬元rr3r31（萬元)r1(萬元)r1()r1(13232式中3r萬元是三年期間以單利計息方式所得到的利息收入，而（3r²+r³）萬元則是以複利計息方式所算出第一期利息以及第二期利息再透過「息滾息」過程所創造的額外現金收入，（32rr3r3）萬元即為以複利計息方式所得到的利息總收入。複利計息和單利計息最不同之處在於單利計息的計算是不將前期的利息做為未來的本金，故三期後兩者的差異變為（3r²+r³）萬元。複利計息過程中「息生息」的威力到底有多大？[表3-1]列舉單利計息以及複利計息所得到投資收益的差異。兩種計息方式在第一期沒有差別，二期以後期末餘額亦只有1元(＝100元10%10%)的差異。20年後，單利計息所算出的期末投資收益為300元，而以複利計息方式所算出期末投資收益高達673元，兩者差距已有一倍以上。其後的差異呈成長。舉例說，50年後，單利計息所算出的期末投資收益為600元，若以複利計息所算出的期末投資收益為11,739元，兩者差距已接近二十倍。[表3-1]本期投資100元各期期末的投資收益（r=10%）單利計息複利計息期數期初本金+利息＝期末餘額期初本金+利息＝期末餘額1100+10=110100+10=1102110+10=120110+11=1213120+10=130121+12.1=133.14130+10=140133.1+13.3=146.410190+10=200236+24=25920290+10=300612+61=67350590+10=60010,672+1,067=11,7391001090+10=11001,252,783,+125,278=1,378,0612002090+10=210017,264,116,020+1,726,411,602=18,990,527,6222102190+10=220044,778,670,810+4,477,867,081=49,256,537,891接下來，再以1926年到1996年這段期間，投資美國股市的年平均報酬率為例說明複利計息的威力。若在1926年初投資美國股市1美元，到了1996年底投資收益變為1370.95美元：
711(1)1370.95r美元美元，經過計算，投資美國股市71年的平均報酬率（r）為10.71%。10.71%的年平均報酬率看起來似乎不高，但經過71年的複利計息過程，當初投資1美元71年後竟會創造1370.95美元的投資收益，而複利計息的威力正在於前期利息可投入本期及未來各期的本金再用於生息，這也是「息生息」的威力所在。假若將1370.95元元再投資70年，1926年所投資的那一塊錢，在2066年所創造出來的投資收益將變為187萬9503美元。複利計息的威力亦可用於解釋為何上一代遺產大都不贈與給下一代而是贈與給下一代的下一代。父母都寧願讓其孫徒輩變得比較有錢，而非讓子女輩變得稍微有錢。2.多期架構下的現值公式截至目前，我們所討論的都僅止於一期的投資計劃，本節將現值與淨現值的概念延伸到多期架構。依第1節複利計息的討論，若本期投資支出為C0，則T期後所創造的投資收益(T期期末終值)為FV(T)=TT00)r1(C,式中r0T為第0期時投資T期的年利率，FV(T)為本期現金流量C0在T期結束時的終值，而T表示投資終止時間。若市場均衡年利率為9%，本期貸出1元，由終值公式兩期後就可創造出1.1881元的投資收益。換一個角度看，若我們希望在兩期後能有1元的收入，市場均衡利率為9%情形下，請問本期應投資多少？這個問題可用下列公式呈現PV1)09.1(2元,式中PV即為兩年後1元的現值。現值所表現的是兩年後的1元以本期貨幣衡量所得的價值：PV=210.84168(1.09)元元。這個計算現值的過程稱為折現（discountingprocess）與複利計息正好相反。以折現方式計算現值是將未來期間的貨幣轉換以本期貨幣來衡量，而複利計息則是將本期的貨幣價值轉換為以未來某特定期間的貨幣來衡量（即複利計息等同於計算終值）。如何驗證0.84168元的確是兩年後1元的現值？我們可利用複利計息公式來檢證。0.84168元以9%利率貸出一年，一年後可取得的本金加利息金額為0.84168元×（1.09）=0.91743元。若將0.91743元再貸出一年，所得的本金加利息正等於1元：1元=0.91743元09.1=20.841681.091.090.84168(1.09)元元也就是說，市場均衡利率為9%情形下，本期的0.84168元和兩年後的1元等值。9%稱為折現率（discountrate），而1/(1.09)2（或0.84168）稱為現值因子（presentvaluefactor，以PVF簡記）。我們可利用現值因子將未來的現金流量轉換以本期貨幣衡量。例子：阿輝購買台北銀行所發行的第一期「對對樂」彩券中了頭獎，獎金100萬元。阿輝想將它存入銀行，計劃五年後將本金及利息用於購車，而阿輝看上的車子其車價為161萬500元。假設五年內車價不變，若阿輝將這筆獎金存入銀行，請問市場均衡利率水準應是多少才讓她五年後有足夠錢支付車款。首先，本期存入100萬元五年後所得到的本金加利息的金額可用以下現金流量圖表示：現金支出-100萬元05現金收入161萬500元由終值的公式可得：100萬元×5)r1(=161.05萬元，簡單計算可解出r為10%。在財務管理課程中，計算利息時，都以複利方式計息。由本節的討論亦可清楚看出：折現其實就是一種複利計息的反向應用。在實際說明現值概念時，我們經常以「本期投資100元，若市場均衡利率為10%時，請問一年後該投資者會有多少投資收益？」替代「假設均衡利率為10%，請問一年後100元的現值為多少？」第一個問題的答案是100元×1.1=110元，而第二個問題的答案則是1.1元100=90.9元。也就是說，折現是將複利計息過程時間倒轉過來，將未來的貨幣價值轉換為以本期貨幣衡量的價值。綜上所述，第n期現金流量(Cn)折現為以本期貨幣衡量的公式為nn0n)r1(C式中r0n為n年期純折現率(或稱為n年期年利率)，n1。投資計畫所創造的現金收入不只限於未來的某一期，可能持續數期。此時計算各期現金流量現值的概念不變，先將各期現金流量一一轉換以本期貨幣衡量的價值，這些價值的加總就得到現值。假設某投資計畫在第1期至第n期間，預期第i期現金收入為Ci，i=1,2,…,n，則這n期現金收入的現值為PV=n1iii0i)r1(C，（1）式中r0i為第i期的純折現率。若本期的資本支出為C0（由於C0是現金支出，故以-C0表示），則此投資計畫的淨現值為NPV=n1iii0io)r1(CC。（2）一般而言，長短期年利率（或各期純折現率）並不相同。假設長短期年利率T00201r,,r,r相同：rrrrT00201，則現值公式變為n1iii)r1(CPV，而淨現值公式亦簡化為n1iii0)r1(CCNPV。由第二章的討論可知，利率（r）不僅影響經濟個體的儲蓄意願，亦影響廠商的投資意願。假設某一四年期投資計畫所需的資本支出為10億元，未來四年每年能創造3億元的現金收入。假設市場均衡利率為5%，則此項計畫的淨現值為NPV=413100.6381.05tt億元若利率上升到9%，此項計畫淨現值降為NPV=413100.2811.09tt億元由於利率上升（折現率變大）導致投資計畫變為無利可圖，亦即利率和淨現值間存在反向變動關係，這也是為何大多數國家央行當經濟景氣不好時，常運用降低利率方式刺激廠商投資，或是景氣過熱時，以提升利率降溫。3.幾個常用的現值公式本節將介紹幾個常用的現值公式：3.1永續年金（perpetuity）3.2成長型永續年金（growingperpetuity）3.3年金（annuity）3.4成長型年金（growingannuity）3.1永續年金永續年金是每期給付固定金額的現金流量且無終止給付的日期。永續年金最佳的例子為英國政府所發行稱為Consols的公債。Consols公債持有人每期都可收到固定金額的票息（couponpayment）。此永續年金的現值應如何計算？以C表示永續年金持有者每期應收到的固定給付金額，其現金流量圖為現金流量CC．．．C．．．時點012．．．n．．．將各期現金流量代入現值公式可得：PV=32)r1(C)r1(Cr1C式中最右邊的三點表示這個數列一直持續下去，r為資本（機會）成本。只要r大於零，上式右邊的總和為有限值，其可化簡為PV=rC。永續年金的價值就是未來各期固定金額現金流量（C）的現值，亦是永續年金持有者對持有此份永續年金所願意支付的最高價格。永續年金的持有者若打算未來各期以其所取得票息收入做為該期消費支出的財源，則她可永遠維持這個消費水準而不必擔心未來各期消費支出的財源。C/r就是她為了永遠維持這種消費水準在本期所必須提存的金額。將C/r存入銀行，從下一期開始，她每期可支領