2-1-4两条直线的交点课件(北师大版必修二)

1．4两条直线的交点【课标要求】1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系．3．会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题．【核心扫描】1．利用解由两直线方程组成的方程组，求得两条直线的交点坐标．(重点)2．有关直线过定点问题．(难点)3．分类讨论思想的正确应用．(疑点)自学导引两条直线相交与方程组解的关系已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，则A1x0＋B1y0＋C1＝0A2x0＋B2y0＋C2＝0.(2)若两直线方程组成的方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0有唯一解x＝x0，y＝y0，则两条直线，交点坐标为．因此，求两条直线的交点，就是求．想一想：若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？提示不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多组解，则两条直线重合．相交(x0，y0)这两个直线方程的公共解名师点睛1．两条直线位置关系的公式法判断当A1B1C1≠0，且A2B2C2≠0时，l1与l2相交⇔A1A2≠B1B2；l1∥l2⇔A1A2＝B1B2≠C1C2；l1与l2重合⇔A1A2＝B1B2＝C1C2.2．直线系(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0或者是－Bx＋Ay＋n＝0(m、n为常数)；(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，但其不能表示直线A2x＋B2y＋C2＝0，其中λ为常数．(λ≠0)题型一两直线的交点坐标【例1】判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标．(1)3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0；(2)2x－6y＋3＝0，y＝13x＋12；(3)2x－6y＝0，y＝13x＋12.[思路探索]由方程组解的个数就可以判断两条直线的位置关系．解(1)有唯一解x＝－2，y＝2，所以两直线相交，且交点坐标为(－2,2)．(2)有无数组解，所以两直线重合．(3)无解，所以两直线平行．规律方法根据解的个数判断两直线的位置关系，在解方程时，要先观察方程系数，求出方程组解的个数，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多个解，则两直线重合．也可根据直线的斜率和截距的关系判断直线的位置关系．【变式1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标；(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0；l2：2x－2y＋2＝0.解(1)解方程组2x＋y＋3＝0，x－2y－1＝0，得x＝－1，y＝－1，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组x＋y＋2＝0，①2x＋2y＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.(3)解方程组x－y＋1＝0，①2x－2y＋2＝0，②→①×2，得2x－2y＋2＝0.因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，所以两直线重合．题型二过两直线交点的直线方程【例2】求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．[思路探索]本题可先求交点坐标，再写出方程，也可设过交点的直线系方程，再利用待定系数法求解．解法一由方程组3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2，即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率为k＝2－2＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.法二∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ≠0)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.规律方法本题法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据过原点求出斜率．采用斜截式求解；法二则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据其他条件求解待定系数．【变式2】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，并且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．解设所求直线l的方程为(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0，整理得(λ＋1)x＋(λ－2)y＋(4－2λ)＝0.∵l与l3垂直，∴(λ＋1)×3＋(λ－2)×(－4)＝0，解得λ＝11.∴所求直线方程为(x－2y＋4)＋11(x＋y－2)＝0，即12x＋9y－18＝0.题型三直线恒过定点问题【例3】(12分)求证：无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．审题指导由于直线方程中含有字母参数k，当k取不同的实数值时，原方程便表示不同的直线．所谓“定点”就是指无论k取什么值，对应的直线都经过该点．【解题流程】法一令k＝0，k＝1→解方程组求交点→验证交点总在直线上法二变形方程，提取参数→列方程组→解方程组求出定点[规范解答]法一当k＝1时，直线方程为x＝1，当k＝0时，直线方程为x＋y＝0，由x＝1x＋y＝0得，交点P(1，－1)．(6分)将P(1，－1)代入原方程左边得，k＋1－(k－1)×(－1)－2k＝k＋1＋k－1－2k＝0，即点P的坐标总适合直线方程，(10分)∴无论k取何实数，点P(1，－1)总在直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0上．(12分)法二将原方程化为k(x－y－2)＋x＋y＝0，(4分)要使其对任意实数k恒成立，则有x－y－2＝0，x＋y＝0，∴x＝1，y＝－1.(10分)∴不论k为何实数，原直线都过定点(1，－1)．(12分)【题后反思】(1)求直线过定点，可以分离系数，即将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，此式成立与m的取值无关，则fx，y＝0，gx，y＝0.(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程成立，则此点为定点．【变式3】求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．证明法一取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝12时，直线方程为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．法二原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.若对任意m都成立，则有x＋2y－1＝0，x＋y－5＝0.∴x＝9，y＝－4.∴不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．误区警示因分类讨论不全而出错【示例】是否存在实数a，使三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能围成一个三角形？请说明理由．[错解](1)当l1∥l2时，－a＝－1a，即a＝±1；(2)当l1∥l3时，－a＝－1，即a＝1；(3)当l2∥l3时，－1a＝－1，a＝1.∴当a≠1且a≠－1时，这三条直线能围成一个三角形．要使三条直线围成一个三角形，除这三条直线中任两条不能平行外，还要满足三条直线不能交于一点，错解中漏掉了这种情况．[正解](接错解)(4)当l1与l2，l3相交于同一点时，由x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0得交点(－1－a,1)，将其代入ax＋y＋1＝0中，得a＝－2或a＝1.故当a≠1且a≠－1且a≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关键，在分类讨论时，不能遗漏，此题是从结论的反面即求出不能围成三角形的条件入手解决的．单击此处进入活页限时训练