2019年上海春考数学试卷及详细答案

12018-2019年上海春考数学试卷及答案2019.01一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1、已知集合1,2,3,4,5A，3,5,6B，则AB_________________【答案】3,52、计算22231lim____41nnnnn【答案】23、不等式15x的解集为______【答案】6,44、函数20fxxx的反函数为___________【答案】,0yxx5、设i为虚数单位，365zii，则z的值为__________【答案】226、已知22214xyxaya，当方程有无穷多解时，a的值为_____________.【答案】2a；7、在61xx的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】158、在ABC中，3,3sin2sinACAB，且1cos4C，则AB____________【答案】109、首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【解析】在五天里，连续连续2天，一共有4种，剩下的3人排列，故一共有：33424P种.210、如图，已知正方形OABC，其中1OAaa，函数23yx交BC于点P，函数12yx交AB于点Q，当AQCP最小时，则a的值为_______【答案】3【解析】依题意得，1,,,3aPaQaa，则11233aAQCPa，当且仅当3a时，取等号，故3a.11、在椭圆22142xy上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有121FPFP，则1FP与2FQ的夹角范围为____________【答案】1arccos,3【解析】设,Pxy，因为121FPFP，则2221xy，与22142xy结合，可得21,2y，222212222222221222cos22222FPFQxyxyFPFQxyxyxyx（与22142xy结合，消去x）222238131,322yyy.所以1arccos,3.12、已知集合,14,9Atttt，0A，存在正数，使得对任意aA，都有Aa，则t的值是____________【解析】1）：当0t时，当,1att，则4,9tta，当4,9att，则,1tta，3即当at时，9ta；当9at时，ta，即9tt；即当1at时，4ta，当4at时，1ta，即14tt，所以914tttt，解得1t.当104tt时，当,1att，则,1tta，当4,9att，则4,9tta，即当at时，1ta，当1at时，ta，即1tt；即当4at时，9ta，当9at时，4ta即49tt，所以149tttt，解得3t.当90t时，同理可得，无解【解析】2）存在正数，使得对任意1aA，都存在2aA，使得12aa，当0t时，思考4当1at时，124,9aatttt当11at时，1214,19aatttt当14at时，124,14aatttt当19at时，129,19aatttt二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、下列函数中，值域为0,的是（）A、2xyB、12yxC、tanyxD、cosyx【答案】B14、已知abR、，则“22ab”是“ab”的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件【答案】C15、已知平面、、两两垂直，直线abc、、满足：,,abc，则直线abc、、不可能满足以下哪种关系（）A、两两垂直B、两两平行C、两两相交D、两两异面【答案】B16、以12,0,,0aa为圆心的两圆均过1,0，与y轴正半轴分别交于12,0,,0yy，且满足12lnln0yy，则点1211,aa的轨迹是（）A、直线B、圆C、椭圆D、双曲线【答案】A【解析】因为2211111raay，21112ya，同理，22212ya，又因为12lnln0yy，所以121yy，则1212121aa，即121212112,2aaaaaa设1211xaya，则2xy为直线，故答案为A.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）517、如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2）求PABC的体积.【答案】（1）3arccos4；（2）34.18、已知数列na，13a，前n项和为nS.（1）若na为等差数列，且415a，求nS；（2）若na为等比数列，且lim12nnS，求公比q的取值范围.【答案】（1）22nSnn；（2）31,00,4；19、改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比（数据老源于国家统计年鉴）（1）计算A、B的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；（2）设t=1表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数6.44200.1136357876.60531tfte，6研究函数ft的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份。【答案】（1）个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多；（2）单调递增，51t，2028年首次超过12万亿.20、已知抛物线方程24,yxF为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：PFdPFQ.（1）当81,3P时，求dP；（2）证明：存在常数a，使得2dPPFa；（3）123,,PPP为抛物线准线上三点，且1223PPPP，判断13dPdP与22dP的关系.【题型】（2）定值问题；（3）平方法比较大小【答案】见解析【解析】（1）因为84431233PFkyx，联立方程24113,44Qyxxyx则1083534PFdPQF；（2）当1,0P时，易得22adPPF，不妨设1,PPy，0Py，直线:1PFxmy，则2Pmy，联立214xmyyx，2440ymy，2244162212Qmmymm，22222221121221222221PPQymmmmdPPFmyymmmmmm7（3）设1122331,,1,,1,PyPyPy，则132132222132222131322213132424424442424416dPdPdPPFPFPFyyyyyyyyyyy因为22222213131312441624428yyyyyyyy又因2222213131313444480yyyyyyyy，所以13dPdP22dP.【总结】（3）的本质为：AE为ABC的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知2AEABACDEBCA21、已知等差数列na的公差0,d，数列nb满足sinnnba，集合8|,nSxxbnN.（1）若120,3ad，求集合S；（2）若12a，求d使得集合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：nTnbb，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.【答案】见解析【解析】（1）33,0,22S；（2）23d或d；（3）当3T时，3nnbb，集合123,,Sbbb，符合题意；当4T时，4,sin4sinnnnnbbada，42nnadak或42nnadka，因为na为公差0d的等差数列，故42nnadak，2kd，又d，故1,2k.当1k时，如图取10a，0,1,1S，符合条件;当5T时，5,sin5sinnnnnbbada，52nnadak或52nnadka，因为na为公差0d的等差数列，故52nnadak，25kd，又d，故1,2k，当1k时，如图取110a，3sin,1,sin1010S，符合条件；当6T时，6nnbbsin6sinnnada，62nnadak或62nnadka，因为na为公差0d的等差数列，故62nnadak，3kd，又d，故1,2,3k.9当1k时，如图取10a时，33,0,22S，符合当7T时，7,sin7sinnnnnbbada，72nnadak或72nnadka，因为na为公差0d的等差数列，故72nnadak，27kd，又d，故1,2,3k.当1k时，因为127,,,bbb对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2mnaa，即22,mnddmn，即22=7mn，7,7mnm,不符合条件;当2k时，因为127,,,bbb对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2mnaa，即22,mnddmn，即24=7mn，mn不是整数，故不符合条件;当3k时，因为127,,,bbb对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2mnaa或4，若22,mnddmn，即26=7mn，mn不是整数，若44,mnddmn，即46=7mn，mn不是整数，故3k不符合条件;综上：3,4,5,6T.