高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲

1平面几何选讲反演变换基础知识一.定义1.设O是平面上的一个定点，k是一个非零常数．如果平面的一个变换，使得对于平面上任意异于O的点A与其对应点'A之间，恒有（1）',,AOA三点共线；（2）'OAOAk，则这个变换称为平面的一个反演变换，记做(,)IOk．其中，定点O称为反演中心，常数k称为反演幂，点'A称为点A的反点．2.在反演变换(,)IOk下，如果平面的图形F变为图形'F，则称图形'F是图形F关于反演变换(,)IOk的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．3.设两条曲线uv、相交于点A，l、m分别是曲线uv、在点A处的切线（如果存在），则l与m的交角称为曲线uv、在点A处的交角；如果两切线重合，则曲线uv、在点A处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交．二.定理定理1.在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．定理2.在反演变换(,)IOk下，设AB、两点（均不同于反演中心O）的反点分别为''AB、，则有''BA=''kABABOAOB．定理3.在反演变换下，过反演中心的直线不变．定理4.在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．定理5.在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆．定理6.在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反．定理7.如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切．定理8.如果两直线平行，则其反形（两圆或一圆一直线）相切于反演中心．典型例题一.证明点共线例1.ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，设L、M、N分别是EF、FD、DE的中点．求证：ABC的外心、内心与LMN的外心三点共线．证明：如图，设ABC的内心为I，内切圆半径为r．以内心I为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2(,)IIr，则A、B、C的反点分别为L、M、N，因而ABC的反形是LMN的外接圆．故ABC的外心、内心和LMN的外心三点共线．二.证明线共点例2.四边形ABCD内接于O，对角线AC与BD相交于P，设ABP、BCP、CDP、DAP的INMLFEDCBA2MNODCBAN'M'ODCBA外心分别为1O、2O、3O、4O．求证：OP、13OO、24OO三直线共点．证明：作反演变换(,)IPPCPA，则A、C互为反点，B、D互为反点，O不变，直线1PO不变，ABP的外接圆的反形是直线CD．由于直线1PO与ABP的外接圆正交，因而1PO与CD正交，即有1POCD．又3OOCD，所以13//POOO；同理31//POOO，所以四边形13POOO为平行四边形，从而13OO过PO的中点；同理24OO也过PO的中点．故OP、13OO、24OO三线共点．三.证明点共圆例3.设半圆的直径为AB，圆心为O，一直线与半圆交于C、D两点，且与直线AB交于M．再设AOC与DOB的外接圆的第二个交点为N．求证：ONMN．证明：以O为反演中心作反演变换2(,)IOr，其中，r为半圆的半径，则半圆上的每一点都不变，()AOC与()DOB的反形分别为直线AC、BD．且设M、N的反点分别为'M、'N，则'N为直线AC与BD的交点，'M在直径AB上，直线MN的反形为''OMN的外接圆，直线CD的反形为CDO的外接圆．而'ONNMON是''OMN外接圆的直径'''MNOM．于是问题转化为证明'''MNOM．因为'ADBN，'BCAN，O是AB的中点，所以过O、C、D三点的圆是'NAB的九点圆，而'M在九点圆上，又在边AB上（不同于O点），故''MNAB，因此ONMN．四.证明一些几何（不）等式例4.设六个圆都在一定圆内，每一个圆都与定圆外切，并且与相邻的两个小圆外切，若六个小圆与大圆的切点依次为1A、2A、3A、4A、5A、6A．证明：123456234561AAAAAAAAAAAA证明：如图以6A为反演中心作反演变换6(,1)IA，则O与6O的反形为两条平行线，其余5个圆的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆；且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切，而其余三圆均与相邻的两圆相切．设1A、2A、3A、4A、5A的反点分别为'1A、'2A、'3A、'4A、'5A，则其反形中的O4O3O2O1PODCBA3A6A5A4A3A2A1O6O5O4O3O2O1O五个圆与两平行线中的一条（即O的反形）依次切于'1A、'2A、'3A、'4A、'5A；再设这五个圆的半径依次为1r、2r、3r、4r、5r，则由勾股定理可得''2212121212()()2AArrrrrr，同理''23232AArr，''34342AArr，''45452AArr．显然15rr，于是''''''''12342345AAAAAAAA．但''12126162AAAAAAAA，''34346364AAAAAAAA，''23236263AAAAAAAA，''45456465AAAAAAAA．所以123423456162636462636465AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA123423456162636462636465AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA故123456234561AAAAAAAAAAAA．练习：1.（2002土耳其数学奥林匹克）两圆外切于点A，且内切于另一于点B、C，另D是小圆内公切线割的弦的中点，证明：当B、C、D不共线时，A是BCD的内切圆圆心．2.（第30届IMO预选题）双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形．证明双心四边形的两个圆心与对角线的交点共线．3.（1997全国高中数学联赛）已知两个半径不等的圆1O与圆2O相交于M、N两点，圆1O与圆2O分别于圆O内切于S、T．求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线．r5r4r3r2r1'5A'4A'3A'2A'1A