第一讲实数与实函数

1第一讲实数与实函数1.1实数与实函数的基本概念一．实数实数包括有理数和无理数．有理数，就是能够表示成qp形式的数，其中p是整数，q是不为零的整数．如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数．无理数，就是不能表示成qp形式的数，也就是无限不循环的小数．如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数1可表示为1=1.000…；也可以表示为l=0.999…（注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节．数1约定的表示为l=0.999…，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数．二、实数的性质1．实数集合R是一个阿基米德有序域(1）在实数集合R上定义加法“+”和乘法“×”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元”;R成为一个“域”.(2）在集合R上定义了一种序关系“，且满足传递性：即对Rcba,,，若ab,bc,则a＜c；三歧性：即对,,Rba，关系ab,a=b,ab三者必居其一,也只居其一R是一个全序集．(3)R中的元素满足阿基米德性：对R中的任意两个正数a,b，必存在自然数n，使得na＞b.2．实数集合R是一个完备集定义1.1（距离空间）设X是一个集合，定义映射RXX:，满足(1）非负性：对;0,,,yxyxXyx(2）对称性：xyyx,,；(3）三角不等式：yzzxyx,,,;则称是点集X上的一个距离．如果X是一个线性空间，称,X是一个距离空间。在实数集R上定义距离yxyx,（可以验证满足定义中的三条），则,R是一个距离空间．定义1.2设nx是距离空间,X中的点列，若对0,0N，当m,nN时，2恒有mnxx,，则称nx是X中的柯西列．定义1.3若距离空间X中的任意柯西列都在X中收敛，则称X是完备的距离空间．由柯西收敛准则很容易知道，作为距离空间的实数集R是完备的．有6个刻划实数集R完备性的且彼此等价的定理，它们分别是(1）确界原理：设S是非空数集．若5有上界．则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．(2）单调有界原理：单调有界点列（函数）必存在极限．(3）区间套定理：若nnba,是一个区间套，则存在唯一的实数，使得,2,1,,nbann…，即,2,1,nbann…。(4）有限覆盖定理：设H是对闭区间巨，习的一个任意开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖ba,(5）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．推论（致密性定理）：有界点列必有收敛子列．(6）柯西收敛准则：数列na收敛的充要条件是数列na是柯西列．关于上述六个定理的等价性证明可参考文献1．三、关于实数点集的一些重要概念1．有界点集S是一实数点集，若0M使对Sx恒有Mx，则称S是有界点集．2．无界点集S是一实数点集．若对0M，Sx使得Mx，则称S是无界点集．3．有界函数f(x）是定义在点集I上的函数，若0M使对Ix恒有Mxf，则称f(x）在I上有界．4．无界函数f(x）是定义在点集I上的函数，若对0M，Ix使得Mxf．则称f(x）在I上无界、例1.1证明函数xxf1在1,0上无界证明：对0M，1,0110Mx使得MMxf1故xxf1在（0,1）上无界。5．上确界设E为一个实数点集，a为一是实常数，若满足：①对Ex，恒有x（即为3E的上界）；②对0，存在Ex0，使得0x。（即是E的最小的上界），则称为E的上确界，记作Esup6．下确界设E为一个实数点集，为一是实常数，若满足：①对Ex，恒有x(即为E的下界）；②对0，存在两Ex0，使得0x（即是E的最大的下界），则称为E的下确界，记作Einf．注：点集E的上确界或下确界可以属于E，也可以不属于E命题（1)Esup，则EEmax．(2）Einf，则EEmin.证明显然，请读者自证．例1.2设A、B皆为非空有界集，定义数集ByAxyxzzBA,,|证明：(1)sup(A+B)=supA+SupB;(2)inf(A+B）=InfA+infB.证明：(1）由已知，A、B非空有界，可知A+B也是非空有界集．根据确界原理，它们的上、下确界都存在．对BAz，由定义,存在Ax及By使得BAyxzsupsup即实数supA十supB是数集A+B的上界；又对BAz，ByAx'',，使得,2sup'Ax，BAyxBysupsup2sup'''记BAyxz'''则BAzsupsup'：．由定义可得sup(A+B）=SupA+supB(2）证明与（1）类似，从略．例1.3设f在区间I上有界．记,supxfMIx,infxfmIx证明：mMxfxfIx'''sup证明：对Ixx''',，有,'Mxfm,''Mxfm4则mMxfxf'''又对0，Ixx21,使得2,221mxfMxf可得mMxfxf21由式，式可知mMxfxfIxx''''''sup7.聚点定义1.4（点集的聚点）：设E是一个点集，是一个点，若在的任意邻域内都含有E的无穷多个点，则称为点集E的聚点．命题设E是一个点集，是一个点，下列说法等价：(1）为点集E的聚点．(2）在的任意邻域内都含有E的异于的一个点．(3）在E中存在互异的点列nx使得nnxlim证明：(1）（2)．显然．(2)(3)．取11，在1;）内，\1Ex，取0,21min12x，在1;内，,...,\2Ex一般地，取0,1min1nnxn在n;内，，,...,2,1,\nExn显然ExnE，且是互异的，同时显然有nnxlim(3)(1)．对0，0N，当nN时，,Uxn．注意到,...,2,1,nExn，即为点集E的聚点．注：(1）从定义可知，有限点集必无聚点．(2）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如，设A是开区间（0,1）中的所有有理点所构成的集合，则闭区间1,0中的所有点都是A的聚点5定义1.5（点列的聚点）：设nx是一个点列，是一个点，若在的任意邻域内都含有nx的无穷多项，则称为点列nx的聚点．注意：点集的聚点与点列的聚点不同，例如nx=n1作为点列，它有两个聚点：-1和1，但是如果把它们看做点集，则它是一个仅含有两个元素的集合1,1，无聚点．把点列的最大（小）聚点，叫做点列的上（下）极限，分别记作nnxlim和nnxlim．8.覆盖设aHa|是一个开区间集，其中是一个指标集，a是开区间．设I是一个点集，如果对Ix，总存在Ha，使得ax，称H覆盖了I，或称H是I的一个开覆盖．如果H是有限集而覆盖了I，则称H是I的一个有限开覆盖；如果H是一个无限集合而覆盖了I，则称H是I的一个无限开覆盖．前面提到的有限覆盖定理，是一个十分重要的定理．它可以推广到一般的距离空间上去，这里就不多说了．例1.4nx是单调数列，证明：若nx存在聚点，则必是唯一的，且是nx的确界．证明：不妨设nx是单调递增数列．假设A,B都是它的一个聚点，且不等．不妨设BA，由聚点的定义，取02BA，在;AU，含有nx的无穷多项，假设,0Axxnn，则20BAAAxn，又根据nx是单调递增的，当0nn时2BAxn，，即在U;B内至多含有nx的有限项，与B是聚点矛盾．再证nxAsup：首先证明对Axnn,事实上，假设有某一项0nx＞A，插人0，使Axn00．由nx的单增性，当0nn时，Axxnn000．此与A为聚点矛盾．与唯一性的证明类似，可以证明A必是最小的上界，即nxAsup.注：此题可有一个推论：若nx是单调数列，且有聚点，则必收敛．若nx是单调增，则nnnxxsuplim；若nx是单调减的，则nnnxxinflim.四、实函数(1）要理解函数的定义，一定要搞清楚映射的定义，而一元实函数实际上就是一个从实数集到实数集的映射，这里不去赘述．确定一个函数的基本要素是定义域和对应法则，当然函数的值域也是函数的要素之一，但它是随定义域与对应法则而定的．(2）函数的运算包括：①四则运算；②复合运算；③极限运算；④微分运6算；⑤积分运算；⑥取大（小）运算xgxfxgxf,min,,max等．这里需要特别强调的是，要注意它们的定义域，使得上述运算有意义．(3）几种具有特性的函数：①有界函数（上节已给出定义）；②单调函数；③奇、偶函数；④周期函数．这些函数的基本概念不再赘述．(4）初等函数与非初等函数．①六类基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数．②初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数．③非初等函数：不是初等函数的函数，称为非初等函数．一般的分段函数，都是非初等函数，例如符号函数0,10,00,1sgnxxxx就是非初等函数，但是分段函数0,10,00,1xxxx可以看做初等函数，因为2xx是两个幂函数的复合下面几个非初等函数都很重要：狄利克雷（Dirichlet）函数为无理数，为有理数xxxD0,1。黎曼（Riemann）函数内的无理数，和，，为既约真分数10100,,,1xqpNqpqpxqxR取整函数[x]：不超过x的最大整数．勒让德（Legendre）多项式nnnnndxxdCxX12它们的一些性质，将在后面详细讨论．有些函数乍一看好像不是初等函数，例如了xx（x0)，把它叫做幂指函数，利用对数恒等式，xxxexln是由一些基本初等函数复合而成的，所以它也是初等函数．1.2实数与实函数的典型问题讨论例1.5设函数xf在ba,月有定义，且在每一点处的极限存在，证明了xf在[a,b]上有界．证法1：对bax,'，因xfxx'lim存在，由局部有界性，0'm及0'，使得7当'';xUx时，恒有''mxf．当x跑遍ba,，在每一点x处都具备上述性质．令H=baxxUx,|;，则H是ba,的一个开覆盖，据有限覆盖定理，必存在有限的子覆盖．即存在ba,上的有限个点，不妨设为kxxx,...,,21这k个点就有昌baxUUiiki,;1注意到对每个iixU;都存在相应的0iM，使当iixUx;时，恒有kiMxfi,...,2,1．记KMMMM,...,,max21，则对bax,恒有Mxf，即函数xf在ba,上有界．证法2:（反证法）假设xf在[a,b]上无界，则对0M，bax,，使得Mxf让M=1,2,…，N，…，则相应地baxxxn,,...,...,,21，使得nxfn．因baxn,为有界数列，据聚点定理，必有收敛子列，即存在子列knx，使baxxknk,lim0