第一讲-数列极限(数学分析)

1第一讲数列极限一、上、下确界1、定义：1）设SR，若:,MRxSxM，则称M是数集S的一个上界，这时称S上有界；若:,LRxSxL，则称L是数集S的一个下界，这时称S下有界；当S既有上界又有下界时就称S为有界数集。2）设SR，若:,MRxSxM，且0,:xSxM，则称M是数集S的上确界，记supMS；若:,LRxSxL，且0,:xSxL，则称L是数集S的下确界，记infLS。2、性质：1）（确界原理）设SR，S，若S有上界，则S有上确界；若S有下界，则S有下确界。2）当S无上界时，记supS；当S无下界时，记infS。3）sup()max{sup,sup};inf()min{inf,inf}ABABABAB。4）supinf();infsup()SSSS。5）sup()supsup;inf()infinfABABABAB。6）sup()supinfABAB。（武大93）7）设(),()fxgx是D上的有界函数，则inf()inf()inf{()()}sup()inf()sup{()()}sup()sup()xDxDfDgDfxgxfDgDfxgxfDgD3、应用研究1）设{}nx为一个正无穷大数列，E为{}nx的一切项组成的数集，试证必存在自然数p，使得infpxE。（武大94）二、数列极限1、定义：1）lim0,():,||nnnaaNNnNaa，称{}na为收敛数列；2）lim0,:,nnnaMNnNaM，称{}na为数列；3）lim0,:,nnnaMNnNaM，称{}na为数列；24）lim0,:,||nnnaMNnNaM，称{}na为数列；5）lim0nna，称{}na为无穷小数列；2、性质1）唯一性：若lim,limnnnnaaabab。2）有界性：若{}na为收敛数列，则{}na为有界数列。3）保号性：lim0,,0.nnnaaNnNa4）保不等式性：若0lim,lim,().nnnnnnaabbabnNab5）迫敛性：若0(),limlimlim.nnnnnnnnnacbnNabccc6）四则运算：若lim,lim,nnnnaabb则lim();lim();lim(0)nnnnnnnnnbbababababaaa。7）Stolz定理：设{}ny为严格增的数列，若11limnnnnnxxyy存在，则11limlimnnnnnnnnxxxyyy。证明：（1）1212{,,,},0,1,2,,nnknaaaSbknbbb，则1212minmaxnnnnaaaSSbbb。（用归纳法证明）,0,0()(),()()acaaccbdabdbacacdbdcbdbbdd，11111111111minminnnnnnnnnnnnnaaaaaaaSSbbbbbbb；11111111111maxmaxnnnnnnnnnnnnaaaaaaaSSbbbbbbb。（2）设1111lim0,,:||2nnnnnnnnnxxxxrknkryyyy，由（1）得||2nknkxxryy，又(1)()nkkknknnnnkxxryyxxrryyyyy，所以||||||nkknknnnkxxryxxrryyyy，又因为lim0,:||2kkkknnnxryxryNknNyy，从而||()nnxrnNy3、极限存在条件：31）（Cauchy收敛准则）{}na收敛的充要条件是0,:,||nmNnmNaa；2）（单调有界收敛原理）若{}na单调增上有界，则{}na收敛，且limsupnnnnaa；若{}na单调减下有界，则{}na收敛，且liminfnnnnaa；3）（致密性定理）有界数列必有收敛子列。4）{}na收敛的充要条件是.limsup()0mknmknaa4、子列：12,{}knnna称为{}na的子列：1）{}na收敛的充要条件是{}na的任何子列都收敛；2）limnna存在221lim,limnnnnaa都存在，且221limlimnnnnaa；3）lim0,nnaA满足naA至多有限项，满足naA有无穷多项，称A为{}na的上极限；lim0,nnaB满足naB至多有限项，满足naA有无穷多项，称B为{}na的下极限；limnna存在limlimnnnnaa。（1）limlimsup;limlimsupnknknnnnknknaxax；（2）0()limlim,limlimnnnnnnnnnnabnnabab；（3）limlim()nnnnaa；（4）limlimlim()limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnababababab三、应用研究1、设111ln21nann，证明limnna存在。证：令1111111ln,ln(1),2121nnnnnnnndxdxdxbnnnxnn11,nnnnaabb，从而limnna．２、211[3,0),,,1,2,222nnxcccxxn，证明limnnx存在并求其值。证明：显然2ncx，10x。若0nx，则2221||||||||,||,024222nnnnxcccccxxcx，4222221212222222121212122211(),(),22kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx，从而212lim,limkkkkxaxb，由22221212,,1,2,2222nnnnxxccxxn得22,2222cbcaab，从而221(),()(2)02abbaabab，若20ab，由222cab，得2240aac，则3c，总之有1ab，即lim1.nnx3、10(2),01nnnyyyy，求证：lim1nny。（武大00）证明：()(2)1(01)fxxxx，0100(2)1yyyy，若01nyy，则101nnyyy，从而lim()nnya存在，在1(2)nnnyyy取极限，得0(2),01aaaya，所以1a。4、设123443,3,3,4333aaa，如果数列{}na收敛，计算其极限，并证明数列{}na收敛于上述极限。（武大99）证明：由113nnaa，2121222222212111114(),4()nnnnnnnnaaaaaaaa，可归纳证得：212122235,,,nnnnnaaaaa从而221lim,limnnnnaa都存在，令221lim,limnnnnaaab，由2122221113,3nnnnaaaa，取极限得113,3,3,5,abababababbaab，所以数列{}na收敛，且lim4nna5、设数列{}na有一子列{}kna收敛，且2{}{}knnaa及21{}{}knnaa都有无穷个元，而2{}na及21{}na都为单调数列，问{}na上否收敛？为什么？（武大98）证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛：2）由1）知2{}na及21{}na都收敛，又因为221limlimlimknnnnknaaa，故{}na收敛。6、设0na，且na，证明数列{}na中存在一子序列{}kna是收敛的子序列。（武大97）7、设()naan，令max{,0},max{,0}nnaaaa，证明()naan。（武大96）8、设{}na无上界，证明存在子序列{}kna，使得()knak。（武大95）9、设110,2,2,1,2,,nnaxaxxn证明极限limnnx存在并求极限.（北大02）5证明：易知22nxa，当1xa时，{}nx单调增；当1xa时，{}nx单调减，从而极限limnnx存在，令limnnxx，在12nnxx两边取极限得2221xxxx，再由22nxa得lim2nnx。10、求极限22lim1nnnaa.（北大01）解：当21a时，2220()01nnnaaa，22lim01nnnaa；当21a时，221lim12nnnaa；当21a时，2221limlim1111nnnnnaaa。11、设()fx在点a右导，()0fa，求极限1()lim()nnfanfa.（北大01）解：12、lim1,(0)nnnaa.（北大98）13、证明：（1）11(1)nn为递减数列：（用1[(1)],0nnbanbnaba）（2）111ln(1),1,21nnnn（华东师大00）14、设R中数列}{na，}{nb满足,2,1,1nqabannn其中10q,证明：（1）若}{nb有界，则}{na有界；（2）若}{nb收敛，则}{na收敛。（清华01）证明：（1）设1||,||nbMaM，由于1211110()()nknnnnnnnnkkabqabqbqaqbqa，从而1101||1nknnkaqMqMMq。（2）设limnnbb，11100|||()()()|1nknknnkkkbaqbqaqbq1101|()()()()||()|nknknkkknqbbqabqb61101|()()||()()()()|||1nmnkknnknkkkmqqbbqbbqabbq|()()|2||11mnnnkkknmqqqbbMbqq15、（1）用语言证明：11lim1xx。（2）设函数f在点a可导，且0)(af。求：nnafnaf)()1(lim。（3）求极限ppppnnn121lim，其中0p。（清华00）16、求极限)]1([lim1nnenn（清华99）17、设limnnaa，证明1222lim2nnaanaan。（上海交大04）证明由Stolz公式1212222(1)limlim(1)2nnnnaananaannn。18、设,3)1(31nnnxxx(01x为已知)求limnnx.（南京大学00）19、求22limsin()nnn。（浙大01）20、试证：单调数列{}nx收敛到a的充要条件是存在子列{}knx收敛到a。（武汉所00）