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《数学分析》教案-1-第二章数列极限教学目的：1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的定义及其应用.教学时数：14学时§1数列极限的定义教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。教学时数：4学时一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——二、讲授新课：（一）数列：《数学分析》教案-2-1.数列定义——整标函数.数列给出方法:通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列:常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限:以为例.定义(的“”定义)定义(数列收敛的“”定义)注：1.关于：的正值性,任意性与确定性,以小为贵;2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例1例2例3例4证注意到对任何正整数时有就有《数学分析》教案-3-于是，对取例5证法一令有用Bernoulli不等式，有或证法二（用均值不等式）例6证时，例7设证明（四）收敛的否定:定义(的“”定义).定义(数列发散的“”定义).例8验证《数学分析》教案-4-（五）数列极限的记註:1.满足条件“”的数列2.改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:3.数列极限的等价定义:对任有理数对任正整数（六）无穷小数列:定义.Th2.1(数列极限与无穷小数列的关系).§2收敛数列的性质（4学时）教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学重点、难点：：迫敛性定理及四则运算法则及其应用，数列极限的计算。教学时数：4学时一.收敛数列的性质:1.极限唯一性：（证）2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）3.收敛数列保号性：《数学分析》教案-5-Th1设若则（证）系1设若，（注意“=”；并注意和的情况）.系2设或.则对(或(或系3若则对绝对值收敛性见后.4.迫敛性(双逼原理):Th2(双逼原理).(证)5.绝对值收敛性:Th3(注意反之不正确).(证)系设数列{}和{}收敛,则(证明用到以下6所述极限的运算性质).6.四则运算性质:Th4(四则运算性质,其中包括常数因子可提到极限号外).(证)《数学分析》教案-6-7.子列收敛性:子列概念.Th5(数列收敛充要条件){}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.Th6(数列收敛充要条件){}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.Th7(数列收敛充要条件){}收敛子列{}、{}和{都收敛.(简证)二.利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1．利用四则运算性质求极限：例1註：关于的有理分式当时的极限情况例2填空:⑴⑵例3例42.双逼基本技法:大小项双逼法，参阅[4]P53.《数学分析》教案-7-例5求下列极限:⑴⑵⑶例6(例7求证例8设存在.若则三.利用子列性质证明数列发散:例9证明数列发散.§3收敛条件（4学时）教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。教学要求：1.掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；2.初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。《数学分析》教案-8-教学难点：相关定理的应用。教学方法：讲练结合。一．数列收敛的一个充分条件——单调有界原理：回顾单调有界数列.Th1(单调有界定理).(证)例1设证明数列{}收敛.例2(重根号),证明数列{}单调有界,并求极限.例3求(计算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到对有有↘,二、收敛的充要条件——Cauchy收敛准则：1．Cauchy列：2．Cauchy收敛准则：Th2数列{收敛，（或数列{收敛，}《数学分析》教案-9-Th2又可叙述为：收敛列就是Cauchy列.(此处“就是”理解为“等价于”).(简证必要性)例4证明:任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列收敛.其中是中的数.证令有……例5设试证明数列{收敛.三.关于极限证明留在下节进行.例6例7《数学分析》教案-10-例8四.数列单调有界证法欣赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，得，+注意到且比多一项即↗.有界.《数学分析》教案-11-综上,数列{}单调有界.评註:该证法朴素而稳健,不失大将风度.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式为正整数),有由利用Bernoulli不等式,有↗.为证{}上方有界,考虑数列可类证↘.事实上,(此处利用了Bernoulli不等式)↘.显然有有即数列{}有上界.《数学分析》教案-12-评註:该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三(利用均值不等式)在均值不等式中,令就有即↗.令可仿上证得时↗,(时无意义,时诸=,不能用均值不等式.)当时,由由↗↘.4.证法四(仍利用均值不等式)即↗.有界性证法可参阅上述各证法.《数学分析》教案-13-证法五先证明：对和正整数，有不等式事实上，该不等式又可变形为(为正整数)在此不等式中,取则有就有↗.取又有对成立，又由评註:该证法真叫绝.[1]采用这一证法.小结、习题（2学时）第三章函数极限教学目的：《数学分析》教案-14-1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。教学时数：14学时§1函数极限概念（2学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的定义及其应用。一、复习：数列极限的概念、性质等二、讲授新课：（一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.《数学分析》教案-15-定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1验证例2验证例3验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证《数学分析》教案-16-例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有（三）单侧极限:1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证《数学分析》教案-17-证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：（一）函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.《数学分析》教案-18-1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.《数学分析》教案-19-例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4[利用公式]例5例6例7例8例9例10已知求和补充题:已知求和()《数学分析》教案-20-§3函数极限存在的条件（4学时）教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则运用。教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.(证)Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.例1证明函数极限的双逼原理.例2证明例3证明不存在.二.Cauchy准则:Th2(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,,证《数学分析》教案-21-(利用Heine归并原则)Cauchy准则的否定:不存在的充要条件.例4用Cauchy准则证明极限不存在.证取例5设在[上函数↘.则极限存在,在[上有界.(简证,留为作业).§4两个重要极限（2时）教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。教学重点：两个重要极限的证明及运用。教学难点：两个重要极限的证明及运用。教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．（证）（同理有）例1例2.例3例4《数学分析》教案-22-例5证明极限不存在.二.证对有例6特别当等.例7例8例9§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2学时）教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。一.无穷小量:定义.记法.例1判断:⑴可怜虫是很小很可怜的虫;()⑵无穷小量是很小很小的量.()《数学分析》教案-23-无穷小的性质:性质1(无穷小的和差)性质2(无穷小与有界量的积)例2无穷小与极限的关系:Th1(证)二.无穷小的阶:设时1．高阶（或低阶）无穷小：2．同阶无穷小：三．等价无穷小：Th2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用:Th3(等价无穷小替换法则)几组常用等价无穷小:（见[2]）例3时,无穷小与是否等价?例4四.无穷大量:《数学分析》教案-24-1.定义:2.性质:性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大习题课（2学时）一、理论概述：二、范例讲析：例1设数集无界.试证明:存在数列{}使例2设为定义在上的递增函数.证明:极限存在的充要条件是函数在上有上界.例3证明:对