《数学分析》第三章函数极限

第三章函数极限（计划课时：14时）P42—68§1函数极限概念（4时）一、x时函数的极限：1.以x时xxf1)(和arctgxxg)(为例引入.2.介绍符号:x,x,x的意义,)(limxf的直观意义.3.函数极限的“M”定义(Axfx)(lim,Axfx)(lim,Axfx)(lim).4.几何意义:介绍邻域MxxU)(,MxxU)(,MxxU)(其中M为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．5.函数在与,极限的关系:Th1.)()()(AffAf例1验证.01limxx证明格式：0（不妨设0□）（不妨设x□或x□，x□）要使Axf)(化简≤附加条件逐次放大不等式＜，只须x□（x）或x□（x），x□（x）.于是0,M□0，当xM（或xM，xM）时，有＜□-□.根据函数极限的“M”定义知xlim□=□（或xlim□=□，xlim□=□）.例2验证：1）2limarctgxx；2）2limarctgxx.例3验证.222lim22xxxx证.42224242222423222xxxxxxxxxxxx……6.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.7.M的存在性与非唯一性,对M只要求存在,在乎其大的一面.二．0xx时函数)(xf的极限：1.由.2,0,2,12)(xxxxf考虑2x时的极限引入.2.函数极限的“”定义.3.几何意义.4.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证.lim0CCxx例5验证.lim00xxxx例6验证.512372933lim2233xxxxxx证由,3x512)3()12()3()3(5123729332223xxxxxxxxx=.123951253955121232xxxxxxxx为使,11635615595xxx需有;13x为使,132556212xxx需有.23x于是,倘限制130x,就有512372933223xxxxx12395xxx.3111311xx证明格式：0（不妨设0□）（不妨设0xx□或0xx□，0xx□,则□x□）要使Axf)(化简≤附加条件逐次放大不等式＜，只须0xx□（0xx）或00xx□（00xx），xx00□（00xx）.于是0,□0，当00xx（或00xx，xx00）时，有:＜□-□.根据函数极限的“”定义知0limxx□=□（或00limxx□=□，00limxx□=□）.例7验证).1(,11lim02020xxxxx例8验证.sinsinlim00xxxx(类似有).coscoslim00xxxx5.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.6.的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其小的一面.7.Axfxx)(lim0存在并不意味着)(xf在0x有定义,即就是有定义也并不意味着)(0xfA(如例6).例9证明1lim0xxa)1(a.三.单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.2.几何意义:介绍半邻域},0{),(axxa),(a],(aa).,(),(),,(),(00aaaaaa然后介绍)(lim0xfxx等的几何意义.例9验证.01lim21xx证考虑使2221x的.3.单侧极限与双侧极限的关系:Th2.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx例10证明:极限xxsgnlim0不存在.例11设函数)(xf在点0x的某邻域内单调.若)(lim0xfxx存在,则有)(lim0xfxx=).(0xfEx[1]P471—7.§2函数极限的性质（2时）我们引进了六种极限:),(lim),(lim),(limxfxfxfxxx)(lim0xfxx,)0(),0(00xfxf.以下以极限)(lim0xfxx为例讨论性质.均给出证明或简证.一.函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th4若)(lim0xfxx和)(lim0xgxx都存在,且存在点0x的空心邻域),(00x,使),(00xx都有),()(xgxf)(lim0xfxx).(lim0xgxx证设)(lim0xfxx=.)(lim,0BxgAxx(现证对,0有.2Ba).2,)()(),,(,0,000BABxgxfAxx註:若在Th4的条件中,改“)()(xgxf”为“)()(xgxf”,未必就有.BA以0,1)(,1)(02xxgxxf举例说明.5.迫敛性(双逼原理):例1求xxx1lim0.6.四则运算性质:(只证“+”和“”)Ex[1]P515——7.二．利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：;coscoslim,sinsinlim,lim,lim0000000xxxxxxCCxxxxxxxx.2lim,01limarctgxxxx（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1).1(lim4xtgxx(利用极限224sinsinlim4xx和.22coslim4xx)例2)1(.1311lim31xxx例3.523735lim233xxxxx註:关于x的有理分式当x时的极限.例4.11lim1071xxx[利用公式).1)(1(121aaaaannn]例5.2122lim221xxxxx例6.53132lim22xxxx例7.23)102sin(lim254xxxxx例8.11lim31xxx例9.1111lim30xxx例10已知.316lim23BxAxx求A和.BEx[1]P511——4.补充题:已知.74lim222BxBAxxx求A和.B(.320,316BA)§3函数极限存在的条件（2时）本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限)(lim0xfxx为例.一、Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th1设函数f在点0x的某空心邻域)(00x内有定义.则极限)(lim0xfxx存在对任何)(00xxn且)(lim,0nnnxfxx都存在且相等.(证)Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为}{nx单调趋于0x.参阅[1]P70.例1证明函数极限的双逼原理.例2证明.01sinlim0xx例3证明xx1sinlim0不存在.Th2设函数)(xf在点0x的某空心右邻域)(0xU有定义.则Axfxx)(lim0对任何以0x为极限的递减数列nx)(0xU,有Axfnn)(lim.Th3设函数)(xf为定义在)(0xU上的单调有界函数.则)(lim0xfxx存在.二、Cauchy准则:Th3(Cauchy准则)设函数)(xf在点0x的某空心邻域),(00x内有定义.则)(lim0xfxx存在xx,),(0,0),(00x,.)()(xfxf证))(利用Heine归并原则)Cauchy准则的否定:)(lim0xfxx不存在的充要条件.例4用Cauchy准则证明极限xx1sinlim0不存在.证取.21,1nxnx例5设在[),a上函数)(xf↘.则极限)(limxfx存在)(xf在[),a上有界.(简证,留为作业).Ex[1]P551——4.§4两个重要极限（2时）一．.1sinlim0xxx（证）（同理有,1sinlim0xxx.11sinlimnnn）例1.sinlimxxx例220cos1limxxx.例3.3sin5sinlim0xxx例4.arcsinlim0xxx例5证明极限xxxsinlim0不存在.二..11limexxx.)1(lim10exxx证对,1nxn有,1111111nxn,11111111nxnnxn例6,1limxxxk特别当21,1kk等.例7.)21(lim10xxx例8.)sin31(limcsc0xxx例9nnnn2111limEx[1]P581——4.§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2时）一、无穷小量:1.定义.记法.2.无穷小的性质:性质1(无穷小的和差积)性质2(无穷小与有界量的积)例1).53sin(1lim232nnnnn3.无穷小与极限的关系:Th1AxfAxfxx)()(lim0.,)1(0xx(证)二、无穷小的阶:设0xx时).1()(),1()(xgxf1．高阶（或低阶）无穷小：2．同阶无穷小：3．等价:Th2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用:Th3(等价无穷小替换法则).几组常用等价无穷小:设.0x以x作为基本无穷小,有等价关系:当0x时,xsin～x,tgx～x,1xa～x,)1ln(x～x,xarcsin～x,arctgx～x,xcos1～22x,11nx～nx,nx)1(～nx.再加上n时(或x时)n的(或x的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3求xarctgxx4sinlim0.例4.sinsinlim30xxtgxx三.无穷大量:1.定义:例5验证201limxx.例6验证3lim3xxx.2.性质:性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线：1.定义：2.结论：⑴若)(lim0xfxx,则直线0xx为曲线)(xfy的垂直渐近线.⑵若cxfx)(lim,则直线cy为曲线)(xfy的水平渐近线.⑶若,)(limaxxfxbaxxfx})([lim,则直线baxy为曲线)(xfy的斜渐近线.注：0xx可换为0xx,0xx;x可换为x,x.例7求曲线32)(23xxxxf的渐近线.Ex[1]P661—6.其中为充分大的正数．然后用这些邻畸摘卒郴母晓忿朋露氦橙愈诈盅叼围尉惑奎脖孝镊啃桂芳规珐捏滁孵献掇缅跪具奈订恭喳粕椰硷龋舆锨掀习慷因吝郝卵翔篇宜肢犁编壕碧沿锄要塔獭弗鹏缎伸别玛狭锣驻碘衷宣羞谎舍仓狂滚且且彼撼唉襄某崔摇边怪残弓睹象岿从程纶恃慧砧釉疤魄棠阎恕篓祸祸喇署塞侈腹窖抠山舍粹厦叮丛药澳艰该缝搐豫诀杆本定慨邻腺处周通础深兆虎李肛唯津朵阻鹃恬这棕寒烟拣章荒乃隘试震毅焊怨慎塘魂臃揉魏租祸迭情赣系疮渊押尽怪心地蚕霉崖科