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第1页，共20页2020年江苏省南通市高考数学四模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|-1＜x≤2}，B={x|x＜0}，则A∩B=______．2.已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为______．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为______．4.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为______．5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线的方程为y=±2x，则该双曲线的离心率为______．6.现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为______．7.已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．8.给出下列三个函数：①；②y=sinx；③y=ex，则直线（b∈R）不能作为函数的图象的切线______（填写所有符合条件的函数的序号）．9.如图，在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC，点E为线段BC的中点．若=（λ，μ∈R），则λμ的值为______．第2页，共20页10.已知实数x，y满足（x+y-2）（x-2y+3）≥0，则x2+y2的最小值为______．11.已知f（x）是定义在R上且周期为的周期函数，当x∈（0，]时，f（x）=1-|2x-1|．若函数y=f（x）-logax（a＞1）在（0，+∞）上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值为______．12.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn．若S9=S3+2S6，则取得最小值时，S9的值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2=1上两点，且．若C为圆上的任意一点，则的最大值为______．14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，S为△ABC的面积．若不等式kS≤3b2+3c2-a2恒成立，则实数k的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象关于直线对称，两个相邻的最高点之间的距离为2π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，若，求sinA的值．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC=AA1，D是棱AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：BC1⊥A1C．第3页，共20页17.如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为rm的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m．设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上．（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）经过点（0，），点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线l交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当MF=2FN时，求直线l的方程；（3）若直线l上存在点P满足PM•PN=PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．第4页，共20页19.设函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的导函数为f（x）．已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点．（1）证明：a2＞3b；（2）当b=0时，若对任意x＞0，不等式f（x）≥xlnx恒成立，求a的取值范围；（3）求关于x的方程的实根的个数．20.对于数列{an}，若存在正数k，使得对任意m，n∈N*，m≠n，都满足|am-an|≤k|m-n|，则称数列{an}符合“L（k）条件”．（1）试判断公差为2的等差数列{an}是否符合“L（2）条件”？（2）若首项为l，公比为q的正项等比数列{an}符合“L（）条件”．①求q的取值范围；②记数列{an}的前n项和为Sn，证明：存在正数k0，使得数列{Sn}符合“L（k0）条件”．21.已知矩阵A=，B=．B的逆矩阵B-1满足AB-1=．（1）求实数x，y的值；（2）求矩阵A的特征值．22.在极坐标系中，圆C的方程为ρ+2cosθ=0，直线l的方程为．（1）若直线l过圆C的圆心，求实数m的值；（2）若m=2，求直线l被圆C所截得的弦长．第5页，共20页23.已知实数x，y，z满足4x2+9y2+12z2=12．证明：．24.如图，已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过E（-l，0）的直线l与抛物线分別交于A，B两点（点A，B在x轴的上方）．（1）设直线AF，BF的斜率分別为k1，k2，证明：k1+k2=0；（2）若△ABF的面积为4，求直线l的方程．25.（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．【案例】考察恒等式（1+x）5=（1+x）2（x+1）3左右两边x2的系数．因为右边，所以，右边x2的系数为，而左边x2的系数为，所以=．（2）求证：．第6页，共20页第7页，共20页--------答案与解析--------1.答案：{x|-1＜x＜0}解析：解：∵集合A={x|-1＜x≤2}，B={x|x＜0}，∴A∩B={x|-1＜x＜0}．故答案为：{x|-1＜x＜0}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：1-i解析：解：∵=，∴．故答案为：1-i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：17解析：【分析】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，S的值，即可得解输出的S的值．【解答】解：模拟执行程序代码，可得S=3i=2，S=3+2=5i=3，S=5+3=8i=4，S=8+4=12i=5，S=12+5=17此时，退出循环，输出S的值为17．故答案为17．4.答案：30解析：解：由图知，（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.03∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10=30．故答案为：30．由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面第8页，共20页积和为1，本题考查了识图的能力5.答案：解析：解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程是y=±2x，∴=2，∴b=2a，∴c==a，∴e==．故答案为：．由双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程是y=±2x，可得b=2a，从而c==a，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．6.答案：解析：解：现有3个奇数，2个偶数．从中随机抽取2个数相加，基本事件总数n=，和是偶数包含的基本事件的个数m==4，则和是偶数的概率为p=．故答案为：．从中随机抽取2个数相加，基本事件总数n=，和是偶数包含的基本事件的个数m==4，由此能求出和是偶数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．7.答案：解析：解：依题意，设圆锥的底面半径为r，已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，所以2r==2，即r=，又因为圆锥的母线长为l=2，所以该圆锥的侧面积为πrl=2π．故填2．设圆锥的底面半径为r，依题意，2r=2，即r=，所以该圆锥的侧面积为πrl=2π．第9页，共20页本题考查了圆锥的结构特点，圆锥的侧面积．属于基础题．8.答案：①解析：解：①的导数为y′=-＜0，不满足题意；②y=sinx的导数为y′=cosx，由cosx=有解，可得满足题意；③y=ex的导数为y′=ex，由ex=有解，可得满足题意．则直线（b∈R）不能作为函数的图象为①．故答案为：①．分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算，以及方程思想、运算能力，属于基础题．9.答案：解析：解：如图建立直角坐标系：设AB=BC=t，则A（-t，0），C（0，t），E（0，），在Rt△CDA中，∵∠ACD=30°，∴∠CAD=60°，∴AD=AC=t，∴D的横坐标为：-（t+AD•cos75°）=-（t+t•）=-t，D的纵坐标为AD•sin75°=t•=t，∴D（-t，t），由=λ+μ得（t，t）=λ（-t+t，t）+μ（t，），∴t=（-t+t）λ+μt，即λ+μ=1，①t=λt+，即λ+μ=1，②联立①②解得λ==，μ==，∴λμ=×==．故答案为：．建立平面直角坐标系后，设AB=BC=t后，用向量的坐标运算可得．本题考查了平面向量的基本运算，属中档题．第10页，共20页10.答案：解析：解：实数x，y满足（x+y-2）（x-2y+3）≥0，如图所示可行域，由z=x2+y2．结合图象，z可看作原点到直线x+y-2=0的距离d的平方，根据点到直线的距离可得d==，故z=x2+y2=d2=2．点（0，0）到x-2y+3=0的距离为：，故z=x2+y2=d2=．x2+y2的最小值为：故答案为：．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．11.答案：解析：解：f（x）是定义在R上且周期为的周期函数，当x∈（0，]时，f（x）=1-|2x-1|．可得函数f（x）的图象如下：根据图象可得x=时，）logax=1，∴．第11页，共20页故答案为：．根据周期画出函数y=f（x），y=logax（a＞1）在（0，+∞）的图象，根据图象可得答案．本题考查了函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．12.答案：解析：解：依题意，因为S9=S3+2S6，所以q≠1，所以+2，即（q3-2）（q3-1）（q3+1）=0，因为数列{an}为正项数列，所以q3=2．当取得最小值时，S6•S3=1，即=1，所以=-，所以S9==-=．故填：．因为S9=S3+2S6，所以q≠1，所以+2，即（q3-2）（q3-1）（q3+1）=0，因为数列{an}为正项数列，所以q3=2．当取得最小值时，S6•S3=1，即=1，所以=-，即可得到S9．本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．13.答案：解析：解：C为圆x2+y2=1上一点，设C（sinθ，cosθ），则，，∵A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2=1上两点，∴，又，∴===，其中，∵sin（θ+φ）∈[-1，1]，∴当sin（θ+φ）=1时，的最大值为：．第12页，共20页故答案为：．C为圆x2+y2=1上一点，设C（sinθ，cosθ），则利用坐标运算即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，利用坐标运算是解题的关键，属中档题．14.答案：解析：解：不等式kS≤3b2+3c2-a2恒成立，即k≤=恒成立，又由余弦定理，有a2=b2+c2-2bccosA，∴k≤恒成立，∴只需k≤，∵≥，当且仅当b=c时取等号．令f（x）=，则f'（x）=，令f'（x）=0，则x=，∴当0＜x＜时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，∴当x=时，f（x）min=．故当A=时，，∴k≤，∴k的最大值为：．故答案为：．不等式kS≤3b2+3c2-a2恒成立，即k≤恒成立，则只需k≤，然后利用基本不等式和构造法求出最小值即可．本题考查了不等式恒成立问题，考查了余弦定理和基本不等式