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第1页（共26页）2020年江苏省泰州市高考数学四模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B=_______．2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为_______．3．命题“∃x≥0，使x（x+3）≥0”的否定是_______．4．执行如图程序：输出的结果S是_______．5．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+y≤0的概率为_______．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为_______．7．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω=_______．8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于_______．9．x≥0，y＞0，x+y≤2，则+最小值_______．10．已知sin（+α）+sinα=，则sin（α+）的值是_______．11．设点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2（S1﹣S2）=S3，则双曲线的离心率为_______．12．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为_______．第2页（共26页）13．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为_______．14．设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=4028，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为_______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，BC=CC1=4，D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．16．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上顶点A（0，2），右焦点F（1，0），设椭圆上任一点到点M（0，6）的距离为d．（1）求d的最大值；（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为准线l上一动点．①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．第3页（共26页）19．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．20．已知有穷数列{an}各项均不相等，将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{Pn}，称{Pn}为{an}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{Pn}为1，3，2．（1）求证：有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列；（2）若项数不少于5项的有穷数列{bn}，{cn}的通项公式分别是bn=n•（）n（n∈N*），cn=﹣n2+tn（n∈N*），且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列{dn}满足d1=1，|dn+1﹣dn|=（）n（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{dn}的通项公式．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC=4，DE=3，求BD的长．附加题[选修4-2：矩阵与变换]第4页（共26页）22．已知矩阵M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的函数解析式．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（1）求m的值；（2）当α=时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：≥27．解答题25．自2020年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．26．在数列|an|中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：an+1（an+tn﹣1）=an（tn+1﹣1），（n∈N+）（1）猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：an+1＞an，（n∈N+）．第5页（共26页）2020年江苏省泰州市高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B={x|﹣1≤x≤3}．【考点】并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质、复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2+i，则复数|z|==．故答案为：．3．命题“∃x≥0，使x（x+3）≥0”的否定是∀x≥0，x（x+3）＜0．【考点】命题的否定．【分析】根据命题“∃x≥0，使x（x+3）≥0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x≥0，使x（x+3）＜0，从而得到答案．【解答】解：∵命题“∃x≥0，使x（x+3）≥0”是特称命题∴否定命题为∀x≥0，x（x+3）＜0，故答案为：∀x≥0，x（x+3）＜04．执行如图程序：输出的结果S是880．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的S，I的值，当I=10时，结束循环，从而得解．第6页（共26页）【解答】解：模拟执行程序代码，可得S=1，I=1，执行循环体，S=2，I=4，执行循环体，S=10I=7，执行循环体，S=80I=10，执行循环体，S=880输出S的值为880．故答案为：880．5．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+y≤0的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件|x|+y≤0的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图所示，满足条件|x|+y≤0”的区域为图中扇形的面积即阴影部分的面积，∵|x|+y≤0，∴扇形的圆心角为90°，∵R=2，∴S阴影=×4π=π，圆的面积为4π，故|x|+y≤0的概率为=，故答案为：6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC中点，第7页（共26页）在Rt△SOE中，OE=AB=1，则侧高SE==，故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．故答案为：4+4．7．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由降幂公式和三角恒等变换公式化简f（x），由正三角形知道高和底，由此知道周期，得到ω．【解答】解：∵f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），∵△ABC为正三角形，∴△ABC的高为2，BC=4，∴周期T=8，∵T==8∴ω=．8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于．第8页（共26页）【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，只需求出A，B在图中的位置，∠AOB最大，即tan∠AOB最大即可．【解答】解：作出可行域，则A、B在图中所示的位置时，∠AOB最大，即tan∠AOB最大，由题意可得A（1，2），B（2，1）∴KOA=tan∠AOM=2，KOB=tan∠BOM=∵∠AOB=∠AOM﹣∠BOM，∴tan∠AOB=tan（∠AOM﹣∠BOM）===，所以tan∠AOB的最大值为，故答案为：．9．x≥0，y＞0，x+y≤2，则+最小值．【考点】基本不等式．【分析】由条件可得[（x+2y）+（2x+y）]（+）=5++，运用基本不等式和不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：x≥0，y＞0，x+y≤2，可得[（x+2y）+（2x+y）]（+）=5++≥5+2=9，第9页（共26页）可得+≥=≥当且仅当2（2x+y）=x+2y，即x=0，y=2时，取得最小值．故答案为：．10．已知sin（+α）+sinα=，则sin（α+）的值是﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式，求得sin（α+）的值，再利用诱导公式求得sin（α+）=﹣sin（α+）的值．【解答】解：∵sin（+α）+sinα=cosα+sinα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+）=，∴sin（α+）=，故sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣，故答案为：﹣．11．设点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2（S1﹣S2）=S3，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据题意作出示意图，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式2（S1﹣S2）=S3，化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，I