高观点小的中学数学必做作业

专题三学号：姓名：1.用两种方法求下列函数的极值3(1)31yxx,2,1233,0,1,1yxyxx解：方法一，令则,(,1)(1,)0xxyy所以，和时，故递增,(1,1)0xyy时，故递减1,3,1,1xyxy所以，当时有极大值为当时有极小值为,,6yx方法二、对函数二阶求导则,,1,60,13xyyx当时故在时有极大值为,,1,60,11xyyx当时故在时有极小值为32(2)23121yxxx,2,126612,0,1,2yxxyxx解：方法一、令则,(,1)(2,)0,xxyy所以，当和时，故递增,(1,2)0,xyy当时，故递减18219xyxy所以，当时有极大值为；当时有极小值为,,126yx方法二、对函数二阶求导,,1,180,18xyyx当时故在时有极大值为,,2,180,219xyyx当时故在时有极小值为222.,(,)56214812xyfxyxxyyxy问当取何值时取得最小值,,,,10614,648,0,2,1xyxyfxyfxyffxy解：令则,,,,,,(2,1)(2,1)10,(2,1)6,(2,1)4xxxyyyAfBfCf驻点为，设200(,)(2,1)2ACBAfxy因为且，所以函数在处取得最小值为3.有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息。如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇。问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场的所有顾客都能听到。解：顾客人数为n=1,2时，已知条件无法使用，因此考虑从n=3开始：当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人离开时再播。可见，第一次广播应该在第一个顾客即将离开商场之前。第一次开播时，第2,3位顾客可能到了，也可能未到，考虑最好的情况，他们还未进来或者未全进来，那么第二次开播应该在第三个顾客进来之后。而第二个顾客根据条件则知道，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或者在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定能听到广播。所以，至少播2次就可以了。这个对任意的n》3也成立。设：第一个离去的顾客为A，最后一个进去的顾客为B，若按照上述方法广播2次之后，仍有顾客C没听见，则C必须在A离去之后才进来，且在B进来之前就离去，于是C与A、B均未遇到。这与已知条件矛盾。所以商场至少应该广播2次，当天顾客都可以听到。4．解不等式2221011xxxx2222110101xxxxx解：原式可化为，由于，则2211xxx只需，因此22221111xxxxxx(1)1x当时，上式两边平方，即2222424221(1)(1)213xxxxxxxx22(2)11010xxxx当时，，，从而不等式无解22(3)01101001xxxxx当时，，，从而(4)10x当时，两边均为负数，2222213(1)(1)033xxxxx平方得，从而33xx综上，解集为1212...1212...5.0,1,2,...,...()nnaaaaaaninaaaainaaan设，求证：121212......12...lnln()aaannnaaaaaanaaan证：原不等式等价，即要证明：12121212...lnln...ln(...)lnnaaannnaaaaaaaaan,,,1()ln,0,()ln1,()xxfxxxfxfxx设函数求得，由于1212()()...()...0,()nnifafafaaaaafnn有，从而有1212...1212lnln...ln...lnnnaaaaaannnaaaaaann成立1212...1212lnln...ln(...)lnnnaaaaaannnaaaaaa即.因此，原不等式成立专题四学号：姓名：１、用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题：（１）过ABC的顶点C做一条直线，与边AB以及中线AD分别交于F及E，求证AE:ED=2AF:FB证明１：（初等几何）过B做CF//BH,并延长AD交HB于点G。DEFRGHCA因为CD=DB，易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG；由平行线分线段成比例，则AE：EG=AF：FB，又ＥＧ＝２ＥＤ，所以ＡＥ：２ＥＤ＝AF：FB，即AE:ED=2AF:FB。证明２（仿射变换）建立仿射坐标系：Ａ（０,０），Ｂ（ｂ，０），C（0，c）则D（b/2,c/2），下面设CF：y=kx+c，分别求E和F的坐标。EBDFAC因为AB：y=0，从而得到F（-c/k,0），AD：cx-by=0，与CF联立，得E（bc/(c-kb),c^2/(c-kb)）AF：FB=-c/k（（b+c/k）=-c/(kb+c),AE:ED=bc/(c-kb):[b/2-bc(c-kb)]=-2c/(kb+c)）所以，AE:ED=2AF:FB（２）（梅耐劳斯定理）设L，N，M分别在ABC的边AB,AC,BC(或延长线)上，求证：L，N，M三点共线的充要条件是1ALBMCMLBMCMA证明：如图，建立仿射坐标系：以BC为x轴，以BA为y轴，B（0,0），C（a，0），A（0，b），MCNLBA00(,0),(0,)MxNy，则直线AC的方程为：1xyab，0000000000000000000000000000000000ML1()()(,)()(),,()()()1()xyNxyaxbybybybxaybxayaxbyabyxbxayyxaALBMCNaxbyLByMCxaNAxbybxaybyxyxaALBMCNLBMCNAyxaxby直线的方程为：，联立上述方程，可求得点坐标为所以，故本题结论得证（３）已知ABC中，Ｄ是BC边上的中点，G是AD上的任一点，连接BG并延长交AC于E，连接并延长交ＤＧ，ＡＢ于Ｆ，求证ＦＥ／／ＢＣ证明：如图，延长ＡＤ至Ｋ使得ＤＧ＝ＤＫ，EGFKCBA由于ＢＤ＝ＤＣ，所以四边形ＢＫＣＧ为平行四边形，所以进一步得到ＦＧ／／ＢＫ，ＫＣ／／ＧＥ，在ＡＢＫ和ＡＫＣ中，根据平行线分线段成比例知：,,//AFAGAEAGAFAEFEBCFBGKECGKFBEC，从而所以２、利用“圆的仿射变换像是椭圆”这一结论，试将与圆有关的一些结论移植到椭圆上去，并给出证明,,22222222,222,,,2,21(0)1(0),OABOAaOAa12OABOABxyabababxyababxxxyayyaSSa椭圆的面积是证明：设椭圆方程：，则其经过仿射变换，对应图形为圆椭圆内的各定点的坐标为（0,0），（,0）,B(0,b),圆中对应的三角形顶点坐标为（0,0），（,0）,B(0,a)椭圆的面积圆的面积所以，即椭圆的ab面积为专题六学号：姓名：1、写出“非负数的平方为非负数”的逆否命题。解：如果一个数是正数，则它的平方是正数。2、20,0xx命题“若则”的真假，说明理由。解：真命题20,0xx原命题的逆否命题为：若则逆否命题和原命题真假性相同，因此原命题是真命题。3、卡片的一面写上英文字母，另一面写上数字，规定：若一面写英文字母R时另一面必须写数字2.为了判断下面四张卡片是否违反规定，翻哪几张牌就够了？R2T7ABCD解：解题依据：假言命题中的充分条件A---B的矛盾是A---非B（公式）要求中只是R对应2，单并没有要求2对应R所以，第一组中翻R、7两张牌即可，剩下的两张牌是不影响的。第二组中不用翻看任何一张。4.解：（1）P推出Q，同时，Ｐ推出Ｓ，那么Ｐ推出“Ｑ且Ｓ”等价不成立（２）P推出Q，或者，Ｐ推出Ｓ，那么Ｐ推出“Ｑ或Ｓ”等价成立（３）P推出Q，同时，Ｒ推出Ｑ，那么“Ｐ或Ｒ“推出Ｑ等价成立（４）P推出Q，同时，Ｒ推出Ｑ，那么“Ｐ或Ｒ“推出Ｑ等价成立5.解：（１）假命题，根据逆否命题可以判断=2=1(2)(1)0xxxx否定命题：若或，则（２）假命题，条件范围“大“，结论范围”小“，故为假命题35(5)(2)0xxx否定命题：若，则作业标题：期末考核题目作业要求：就你认为的某个具有高等数学背景的中学数学问题进行讨论，并写成一篇3000字以上的论文。高观点下的部分中学数学问题摘要:随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。中学数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。关键词：高等数学；初等数学；函数的拐点问题；函数的凸凹性；分解因式；数列；不等式一、引言随着高中课程的深入改革，大学高等数学的内容被引入了很多，如选修部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。比如导数部分内容就丰富了很多。1、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数3211()32fxxaxbx在区间[11)，，(13]，内各有一个极值点．（II）当248ab时，设函数()yfx在点(1(1))Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()fx的表达式．解析：（II）思路一：由(1)1fab知()fx在点(1(1))f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yabxa，因为切线l在点(1())Afx，处过()yfx的图象，所以21()()[(1)]32gxfxabxa在1x两边附近的函数值异号，则1x不是()gx的极值点．而()gx321121(1)3232xaxbxabxa，且22()(1)1(1)(1)gxxaxbabxaxaxxa．若11a，则1x和1xa都是()gx的极值点．所以11a，即2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx．解法二：同解法一得21()()[(1)]32gxfxabxa2133(1)[(1)(2)]322axxxa．因为切线l在点(1(1))Af，处穿过()yfx的图象，所以()gx在1x两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）．当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx；或当11mx时，()0gx，当21xm时，()0gx．设233()1222aahxxx，则当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx；或当11mx时，()0hx，当21xm时，()0hx．由(1)0h知1x是()hx的一个极值点，则3(1)21102ah，所以2a，又由248ab，得1b，故321()3fxxxx点评本题中“l在点A处穿过函数()yfx的图象”实际上是指点A处是函数的拐点。有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数3xy。在0x处虽