X型四旋翼无人机建模及四元数控制

X型四旋翼无人机建模及四元数控制摘要：首先对X型四旋翼无人机做了合理假设以及受力分析，推导并建立了X型四旋翼无人机全面的动力学数学模型，考虑了无人机平动、转动空气阻力，并且将转子、螺旋桨和机体看成多刚体系统。在机体坐标系下推导了电动机转子动力学方程。在Solidworks软件中，建立了无人机实物模型以获得无人机惯性参数。采用四元数进行姿态解算从而避免产生奇点。直接以四元数作为反馈控制量，设计出多通道双回路矢量PD控制系统。最后以Matlab/Simulink为平台，分别对四元数反馈控系统和欧拉角反馈控制系统进行对比控制仿真。从仿真结果来看，这两种反馈模式都能对无人机模型进行位置、姿态跟踪等控制，但是四元数反馈控制系统具有过渡时间短、计算量少以及无奇点产生的优点。关键词：X型四旋翼；多刚体系统；四元数；PD；中图分类号：TP391.9文献标识码：AModelingandQuaterionControlofaX-TypeQuadrotorAbstract:AcomprehensivekineticmodelofX-typequadrotorisestablishedandsimulated,themodeltreatsrotors,propellersandtheaircraftbodyasamulti-rigid-bodysystem.Toavoidappearingsingularityusingquaternionforattitudecalculation.Amulti-channel-double-loopvectorPDflightcontrollerbasedonquaternionfeedbackisdesigned.Theclose-loopsystemissimulatedonMatlab/Simulink,theinertialparametersareextractedfromSolidworksdesigndata.Comparisonofsimulationresultsbetweenquaternionfeedbackcontrollerandeulerfeedbackcontrolleraremade,shortertransitiontime,lesscalculationandnon-singularityisobservedduringsimulation.Keywords:X-typequadrotor;multi-rigid-bodysystem;quaternion;PD;引言目前国内外学者基于所建立的十字型微小型四旋翼无人机数学模型[1-10]，提出了多种控制算法，做出了多种尝试。主要的控制算法有：经典PID[2][3]、非线性PID[4-6]、自抗扰控制[7]、模糊控制[8][9]、鲁棒控制[10]等。在缩短系统响应时间，提高系统稳定性等方面取得了相应的成果。精确地四旋翼无人机数学模型对控制算法实际应用具有重大的指导意义。然而在对无人机建模时，一些文献忽略飞行过程中空气阻力的影响[1][3][5][7][9]；另一些文献则认为在小角度情况下认为欧拉角速度等于机体角速度[2][4]。而最主要的是，大多数文献将无人机看成完全对称的单刚体并且没有考虑电机角加速度的影响[1-12]，这种对称简化弱化了无人机三维转动之间的耦合以及螺旋桨转子的陀螺效应；从而降低了控制器的控制性能。本文将机体、电机转子以及螺旋桨看成多刚体系统，在SolidWorks软件中建立X型四旋翼无人机三维实物模型，并从中获取其惯性参数。从刚体动力学原理出发建立了较为全面的无人机数学模型。用四元数进行姿态解算，设计了四元数反馈模式矢量PD控制系统。成功实现对四旋翼无人机的位置、姿态的控制。1四旋翼无人机动力模型1.1模型说明xbybzb0xiyizi0Γd2Γd1Γd3Γd4Ft3Ft2Ft1Ft4Mgfτ图1无人机结构简图及受力分析如图1四旋翼无人机结构简图。首先我们做如下假设与说明：①取地面坐标系为惯性坐标系i(以下简称i系)，重力加速度g取固定值；机体坐标系b(以下简称b系)固连于机身，重心与原点重合[3]；②不考虑地球自转及公转影响，不考虑螺旋桨挥舞特性；③机体和无刷电机转子视为刚体，螺旋桨视为与实际质量相等的均质等厚度圆盘刚体。在b系中，每个电机转子和螺旋桨看成一个整体，对其质心的惯量张量为Icr，机体对原点的总惯量张量为I；④考虑到i系下机体迎风面的不对称性对空气阻力的影响。假设平动空气阻力大小与b系中速度vb成正比；转动空气阻力矩大小与b系中机体角速度Ωb成正比；⑤姿态四元数q=(q0q1q2q3)，则从b系到i系的坐标转换矩阵为：222201231203130222221203012323012222130213010123222222qqqqqqqqqqqqRqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq1.2受力分析如图1所示，四旋翼无人机受力分析：①重力：Mg，方向沿zi轴负方向；②平动空气阻力：f=γtvb,γt为平动空气阻力系数，方向与vb方向相反；③转动空气阻力矩：τ=γrΩb,γr为转动空气阻力系数，方向与Ωb方向相反；④螺旋桨推力：Ftj,其大小Ftj=kωj2,j=1,2,3,4；k为螺旋桨升力系数，方向沿zb轴正方向[3][7]；⑤螺旋桨阻力矩：Γdj，其大小Γdj=αωj2,j=1,2,3,4；α为螺旋桨阻力系数，方向与螺旋桨角速度方向相反[3][7]。1.3动力学方程由牛顿第二定律可得平动方程：42100100TitjjxRyRRvMMzgk(1)式中，TiRv表示b系下速度，()TitRv表示b系下的平动空气阻力大小，(())TitRRv表示i系下的平动空气阻力大小。由角动量定理及哥氏定理有转动方程：411111bbbbcrjcrjjbbbIIIIIIIMM(2)合外力矩：222212342222r1234222212340.50.5bbakMak(3)其中：000brqrpqp电机角速度矢量：1122334400,00,00,00bbbb1.4无刷电机方程无刷电机电压方程参考文献[3]：1esjdiLuRiKdt(4)以螺旋桨转子为研究对象。螺旋桨转子以角速度bbj绕其质心做定点转动。由角动量定理及哥氏定理有：bbbbbbcrjcrjrIIM(5)由于00crIdiagJJJ。等式(8)左边第二项的第三个分量为0。取出上式第三个分量：12121,32,4jjmjjjmjrJKifjrJKifj(6)其中：Ki为电磁转矩，mjf为粘滞摩擦阻力矩。根据以上数学公式在Matlab/Simulink中建立X型四旋翼无人机动力模型和无刷电机模型。1.5模型参数图2无人机Solidworks模型为了获得无人机的惯性参数，在Solidworks软件中建立X型四旋翼无人机实物模型，如图2所示。无人机惯性参数由Solidworks软件计算得到，其他参数参考文献[1-12]取合理值，如表1。表1模型参数参数单位数值gm.s-29.81KφV.s0.002LH0.001ResΩ0.1fmN.s.m-12.0×10-5Jkg.m21.686×10-4ktN.s23.5×10-5αN.m.s28.0×10-7γtN.s.m-1diag[111.2]γrN.m.sdiag[0.30.30.2]Mkg1.849Ikg.m210-2×[4.34-0.02150.11;-0.02155.3440.0571;0.110.05718.657]Icrkg.m2diag10-5×[9.59.516.86]2控制系统设计对无人机姿态的控制一般是以欧拉角作为反馈量，将三个欧拉角分开单独控制[2-10]。这种方式比较直观，也最为常用。另外一种方式是，以旋转矩阵、罗德里格斯参数或四元数作为反馈量[11][12]。此种控制方式的控制量以矢量形式呈现。第一种控制方式直接用经典PID控制器。第二种控制方式中的四元数反馈，参数个数少，计算简单，无奇点产生。以下是四元数反馈模式矢量PD控制系统设计过程。2.1四元数姿态控制设期望姿态的坐标系为d系。姿态控制的目的就是让b系跟踪d系。四元数q表示i系到b系的转动；四元数qd表示i系到d系的转动；误差四元数qe表示b系到d系的转动。根据四元数转动的合成公式有：deqqqo。其中q、qd在i系中表示，qe在b系中表示，q、qd、qe均为规范化四元数。则*edqqqo，*表示共轭运算。其矢量部分vet(qe)反映了从b系直接转动到d系所需要的力矩大小及其方向。为了解决四元数的双值性引起的退绕问题，不直接以vet(qe)做反馈误差，而以sgn(scal(qe))vet(qe)作为反馈误差。sgn(.)为符号函数，scal(.)取四元数标量部分。类似以PID控制器求出姿态角速度误差e：由12dddqq得*2dddqq，因为d是d系中的映像，需要转换到b系统才能与相减。所以：**2eddeeqqqq。线性转换无刷电机组fu1u2u3u4ω12ω22ω32ω42qd四旋翼无人机模型q姿态控制器zd推力控制器Mzz图3无人机姿态控制系统框图取如下控制律：133sgnzdvdqeekzzkzzmgfeqeqMkscalqvetqke(6)线性转换是将控制量f,M转换为电压u：112340.50.50.50.50.50.50.50.5ukkkkuakakakakfCuakakakakMu(7)其中C为适当常数。2.2四元数位置跟踪控制无人机位置跟踪控制系统框图如图4。此时推力控制律改为：*3rdvdfkrrkrrmgqeq(8)其中：ddddrxyz,rxyz。无人机平动加速度的大小与方向主要由推力f决定。f的方向适中始终沿着b系z轴正方向。可用位置误差矢量表示期望加速度方向，即期望zb轴方向。四元数qc表示zi轴到zb转动。取单位向量3rdvdcrdvdkrrkrrmgbkrrkrrmg,则：333333331212cccccebqebebeb再加上偏角四元数dq限制，根据转动合成有dcdqqqo。将其送入姿态控制器。组成两级多回路位置跟踪控制系统。线性转换无刷电机组fu1u2u3u4ω12ω22ω32ω42qψ四旋翼无人机模型q姿态控制器(x,y,x)d位置转换器M(x,y,z)qc图4无人机位置跟踪控制系统框图3仿真结果分析在Matlab/Simulink中将四元数反馈控制系统加入到无人机模型中。四元数反馈用下标q表示。作为对比同时建立欧拉角反馈的经典PID系统，用下标e表示。仿真步长取0.001s，求解方法采用ode4(Runge-Kutta)。控制器的参数以超调尽量小、兼顾缩短响应时间为原则，采取试凑法确定。分别对x，y，z进行幅值为1m的阶跃跟踪；对偏航角、俯仰角、滚转角进行幅值为30°的阶跃跟踪。仿真结果如图5~8：01234567800.20.40.60.81z(m)Time(s)z-qz-e图4z阶跃跟踪对比曲线01234567800.51x(m)x-q