正弦定理教案.doc2

0必修5《1.1.1正弦定理》教学设计尉氏县第三高级中学姚翠玲1必修5《1.1.1正弦定理》教学设计一、教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形：（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。二、学情分析本节授课对象是高二学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高二学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。三、教学目标21.知识与技能：(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题2.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点：1.正弦定理的推导.2.正弦定理的运用教学难点：1.正弦定理的推导.2.正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具3学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。教学用具：电脑、多媒体。教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。（1）新课引入——提出问题,激发学生的求知欲。（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。（4）巩固练习——深化对正弦定理的理解。六、教学过程一、复习引入创设情境：1.问题的引入:(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢?4（2）设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦定理。二、新课讲解【师】：请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样表示的？【生】：在直角三角形ABC中，sin,sin,sin1abABCcc【师】：有没有一个量可以把三个式子联系起来？【生】：边c可以把他们联系起来，即,,sinsinsinabccccABC，也就是说在Rt△ABC中sinsinsinabcABC【师】：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个直角三角形中，各边与它所对角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，该式是否也成立呢？通过验证我们得到，在任意的三角形中都有各个边和他所对的角的正弦值相等。在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三个角的正弦，因此我们把它称为正弦定理，即我们今天的课题。【师】：直观的印象并不能代替严格的数学证明，所以，只是直观的验证是不够的，那能不能对这个定理给出一个证明呢？5回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1CsinsinsinabcABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导sinbcB(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABCsin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE6(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?ABCBACbcaD：（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:CcBbAasinsinsin7在锐角三角形中.的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与ABjCBjACjC90A9090由向量加法的三角形法则ABCBACABjCBjACjABjCBACjj得的数量积两边同取与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj定义）（根据向量的数量积的CcAaAcCasinsinsinsin即在锐角三角形中，可得垂直于点作过同理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin也有jBACabc，于垂直作单位向量证明：过点ACjA在钝角三角形中ABCj的夹角为与的夹角为与则垂直的单位向量作与过点设CBjABjjACAA,90090AC90具体证明过程课下完成!【师】：经过上面的证明，我们用两种方法得到了正弦定理的证明，并且得到了正弦定理对于直角、锐角、钝角三角形都是成立的。【师】：大家观察一下正弦定理的这个式子，它是一个比例式。对于8一个比例式来说，如果我们知道其中的三项，那么就可以根据比例的运算性质得到第四项。因此正弦定理的应用主要有哪些呢？【生】：已知三角形的两边一其中一边的对角求另外一边的对角，或者两角一边求出另外一边。【师】：其实大家如果联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上面的任意一个条件，我们都可以解出三角形中所有的未知边和角。下面我们来看正弦定理的一些应用。例1在已知,解三角形.ABC0030,135,2ABa通过例题你发现了什么一般性结论吗?小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。3.定理的应用举例变式：若将a=2改为c=2，结果如何？9例2已知a=16，b=，A=30°.解三角形已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°.32cC=30°.16sinsinACac316当Ｂ＝120°时B16300ABC1631683变式:a=30,b=26,A=30°，解三角形300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以Ｂ＝25.70,或Ｂ＝1800－25.70=154.30由于154.30+3001800故B只有一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac30137.25sin小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。104.基础练习题00(1)45,2,2,103(2)60,4,,3ABCAabBABCAabB在中，已知求在中，已知求5.探究课题引入时问题(2)的解决方法ABCbcbsinβAB=sin(α+β)三.课堂小结【师】：本节课的主要内容是正弦定理，即三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等。写成数学式子就是sinsinsinabcABC。并且一起研究了他的证明方法，利用它解决了一些解三角形问题。其11实对于正弦定理的证明，还有很多别的方法，有兴趣的同学下去之后可以自己去了解一下。课后探究:sinsinsinabckABC那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有关的量来表示吗?作业：P102（1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？（2）结合课本第8-9页探究与发现，思考如下问题，并对一般情况加以总结。°在例2中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判断有几组解？60°ABCb（3）b＝20，A＝60°，a＝15.（1）b＝20，A＝60°，a＝;320（2）b＝20，A＝60°，a＝;31012900A90AabsinAa=bsinAbsinAabababab无解一解两解一解无解一解AC条件图形解的个数总结ACBBCAACDB2B1CADABCD七、评价分析这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。13（附）板书设计