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全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线作法，一般有以下四种：1.角平分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2.截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3.延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4.做平行线：以角平分线上一点作教的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。通常情况下，出现了直角或者是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。图一图二图三图四典型例题精讲【例1】如图，AD是BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC。求证：BECF【例2】已知等腰ABC，100A，ABC的平分线交AC于D，求证：BDADBC．【例3】在梯形ABCD中，ADBC∥，DB是ABC的平分线，求证：ADAB。【例4】如图，180AD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上．a)探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系．b)探讨线段BE与CE之间的位置关系．DCBAABCDEDCBAFCDABE第6题图【例5】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A、∠C的角平分线AE、CF相交于O．求证：OE＝OF．【例6】如图1，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC中，ACB是直角，60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图3，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。图1图2图3【例7】已知MAN，AC平分MAN．（1）在图1中，若120MAN，90ADCABC．求证：ACADAB．（2）图2中，若120MAN，180ADCABC，则（1）中的结论是否仍然成立？NMPOFEDCBAABCDEFOFECBA若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。【例8】如图所示，在ABC中，3ABCC，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：1()2BEACAB【例9】如图，在ABC中，90C，CACB，AD平分BAC，BEAD于点E。求证：2ADBE。图1MDCABN图2NMDACB21FEDCBA【例10】如图所示，D是△ABC的一个外角平分线上的一点，求证：AB+ACDB+DC.【例11】在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）在图1中证明CECF；（2）若90ABC，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若120ABC，FG∥CE，FGCE，分别连接DB、DG（如图4），求BDG的度数。【例12】已知：如图，BADCAD，ABAC，CDAD于点D，H是BC中点.求证：12DHABAC.图1EFBCDA图2GEFBCDA321图4EFBCADGDHABC【例13】在梯形ABCD中，ABCD∥，DB是ADC的平分线，过点A作AEBD∥，交CD的延长线于点E，且2CE。求证：梯形ABCD是等腰梯形。【例14】如图示，CEBF，分别是锐角ABC的ACB，ABC的平分线，AFBF于F，AECE于E。试说明：（1）EFBC∥；（2）1()2EFABACBC．【例15】如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交延长线于G，求证：BF=CG。课后复习【作业1】如图，在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分∠ABC，求证：180AC．【作业2】已知：如图，2ABAC，BADCAD，DADB，求证：DCAC。【作业3】如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：BCABDC．CDBAABDCDECBA【作业4】如图，已知在△ABC内，60BAC，40C，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQAQABBP．QPCBA