数学归纳法技巧

§13数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．1．数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果①当0nn（Nn0）时，)(nP成立；②假设),(0Nknkkn成立，由此推得1kn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数0nn时，)(nP成立．（2）第二数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果①当0nn（Nn0）时，)(nP成立；②假设),(0Nknkkn成立，由此推得1kn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数0nn时，)(nP成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当ln,,3,2,1时，)(,),3(),2(),1(lPPPP成立，②假设kn时)(kP成立，由此推得lkn时，)(nP也成立，那么，根据①②对一切正整数1n时，)(nP成立．（2）反向数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果①)(nP对无限多个正整数n成立；②假设kn时，命题)(kP成立，则当1kn时命题)1(kP也成立，那么根据①②对一切正整数1n时，)(nP成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对0n也成立，而且验证起来比验证1n时容易，因此用验证0n成立代替验证1n，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．（2）起点增多：有些命题在由kn向1kn跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设kn时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．5．归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．数学归纳法的变着，命题成立；，对一切自然数综合时命题也成立，当＝，、、、、、又又＝时当，则：、、、、、时，命题成立，即假设当命题成立；可得及时，当证明：，求证：且有】已知对任意【例nknkakakakkaaaaakkakjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaknkjjaknaaaannaaaaNnkkkkkkjjkkkjjjkjjkkkjjkkkkkjjkkkkjjkkkjjkkjjkjjkjjkkjjkkjjkjjjnnjjnjjn)2)(1(110)()]1([)1(22)1()4321(,22022)()()()(1)4321(,)2(,1,0,1)1(;)(,0,11111211121111211121311112131112121211211113312131131131121312113;2322nnPn个质数求证：第推，算第二个质数，依此类算作第一个质数，大编上序号，【练习】将质数由小到;2)2)(1(1221,1122122);321(,2)2(221)1(221221112121212122221222222122111111211nkkkkkkinkkkkkkkkkkiPnknPPPPqPPPPPqPPPPPPPPPPPPPPPkkiPknPn，都有可知，对任何自然数综合时也成立；结论在即：，只能大于或等于、、、是不可能的质因数，所以都不能整除、、、，得：个不等式两边分别相乘将这、、、、时结论成立，即：、假设，结论成立；时，、当证：2．（1）验证);()1(,),1(),(000NllnPnPnP成立，（2）假设)(kP成立，并在此基础上，推出)(lkP成立，综合（1）（2）对一切自然数)(0nn,命题)(nP都成立；如下图：时的情况、、原命题只须证份小正方形成此时原正方形就可以分个小正方形，等分成份后再拿其中一份任一个正方形分成证：的正整数；是大于块正方形，其中可以剖分为】证明：任一个正方形【例87634452nknknn6个正方形7个正方形8个正方形所以，综上可得原命题成立；原命题成立；综合及归纳假设显然成立时，由时，命题成立，则当假设当可知命题成立；时，由当证明：分的邮资；分的邮票可支付任何分和【练习】试证面值为)2)(1()1(3),7()2(5510,3339,53810,9,8)1(),7(53knNkkknnNnnn3．（倒推归纳法）（1）对于无穷多个自然数命题)(nP成立；（2）假设)1(kP成立，并在此基础上推出)(kP成立，综合（1）（2），对一切自然数)(0nn,命题)(nP都成立；；个正数全部相等时成立且仅当过程可以看出，等号当都成立，且从证明向归纳原理，对于任意综合上述两方面，由方故可得成立次方，即得：时在上面不等式得两端同于是：时的不等式，令：也成立，为了利用个正数何个正数成立，那么对任对任何下面证明，如果不等式不等式成立；以对一切时，不等式也成立，所可见后一个不等号得之于等号得之于归纳假设，上述推理中，前一个不＝时，就有：于是当个正数，都有任意时，不等式成立，即对假设当成立；时，即＝＝时，有：当使用归纳法；成立，为此对证：先证对一切算术－几何平均不等式求证：对于任意个正数，是】设【例nGANnGAAGAkkaaaaaaaaaakaaaakaaaaaakaknaaakkNmnkmGAGaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAkmGANkkmGAmGaaaaaaaaaaaaaaAmmGANmnGANnaaaGaaanAnaaannkkkkkkkkkkkkkkkkkkkmkkkknnnnnmnnnnnnnnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk,)()(11)(11,,,1)(21,)(21)](21)(21[21)(211)(21)(21)2(21)(211),(2)(;,,),(1,,311111112112112112112112112122222122212212222122122221212221212221122221212121212121221212111111111)(1sin)sinsin(sin1],0[,,212121nnnnn则，证明：如果【练习】用反向归纳法时，不等式成立；综上可得：时不等式成立，故＝时，当时不等式成立，假设时，不等式成立；即：当时，当时不等式成立，证：先证)(,21)(21sin)22(21sin)2sin2(sin21)]sin(sin21)sinsin(sin21[21]sinsinsinsin[sin211212sin2cos2sin)sin(sin211)(,2111112122211212221212221212221212221121212121NmnkmkmmmmNmnmkkkkkkkkkmkkkkkkkkkkkkkkk，不等式得证；由反向归纳法原理可得时不等式成立；即：由假设时，令时不等式成立，当假设knakakkkakakakakakakakbknknkkkkkkkkkkkk)sinsin(sin11)(1sin1)](1sin)sin)sinsin[(sin11)sinsinsin(sin11)(1sin)(1sin)(11sin)(112121211211212121121214．（螺旋式归纳法）)()(nQnP和为两个与自然数n有关的命题，假如（1）)(0nP成立；（2）假设)(),(0nkkP成立，能推出)(kQ成立，假设)(kQ成立，能推出)1(kP成立；综合（1）（2）,对于一切自然数)(0nn，)()(nQnP和都成立；成立即：都成立，和，数综上可得，对任意自然成立成立，即假设成立成立，即假设成立时，当：下用螺旋式归纳法证明指在提设条件下求证：命题指在提设条件下求证：命题两个子命题证：依题意把命题分为求证：中，已知】在数列【例)134(21),134(21)()()1(]1)1(3)1(4)[1(21)26634(211)1(3)134(21)134(21)()3()()134(213)134(21),134(21)()2()1(,1)11314(121,11)11(131)1()134(21)(),134(21)(),(),()134(21),134(21),(,1)1(3,34222122223122122122222221222121122212222121222nnnSnnnSnBnAnkAkkkkkkkkSkkkkkaSSkkkSkBkBkkkkkkkaSSkkkSkAASannnnSnBnnnSnAnBnAnnnSnnnSNnnnanaannnkknkkknknnnnnnn个四面体；则这些线段至少构成一条线段，个点间连有设空间命题个四面体；则这些线段至少构成一条线，个点间连有设空间命题，定义：有关的命题，记其为证：这是一个与自然数证之；少构成一个四面体，试条线段，则这些线段至不共面，它们之间连有个点，其中任意四点都【练习】设空间中有1)1(2)2(13:)(1)1(2)1()2(23:)()()2(13)2(3222mmmmmmFmmmmmmEmGmmmmm都成立；命题知对一切，由螺旋归纳法原理便综合条线段，从而由个点间至少连有去掉时，余下的将，由它引出的线段数一点条线段，于是其中必有个点间连有设最后证条线段，从而由命题个点间至少连有去掉，余下的，将，由它引出的线段一点条线段，于是其中必有个点间连有设再证成立；一个四面体，从而便知这些线段至少构成由命题条连线，个点间至少还有点去掉时，余下的矛盾。当将于是线段总数为：，出的线段都不小于，若不然，则由每点引出的线段条数为点引，则由是引出线段最少的一点条线段且个点间连有设证明成立；四面体，即命题条线段，当构成，即四点间连有时，当)()()(,,2)4)(3)(2)(1()1()(133.21)1(213)1()()4()()(1)1(2132133